Liczby zespolone

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Liczby zespolone mogą być przedstawione jako współrzędne wektora na płaszczyźnie zespolonej

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną to znaczy pierwiastek wielomianu Liczby zespolone rozszerzają koncepcję jednowymiarowej osi liczbowej do dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej, przy zastosowaniu osi poziomej do oznaczenia liczb rzeczywistych, a pionowej do oznaczenia liczb urojonych. Liczba zespolona postaci może być określona za pomocą współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby dualne – wyrażenia postaci z = a + b ϵ {displaystyle z=a+bepsilon } , gdzie a , b ∈ R {displaystyle a,bin mathbb {R} } oraz ϵ 2 = 0 {displaystyle epsilon ^{2}=0} ( ϵ {displaystyle epsilon } jest nilpotentem).Girolamo Cardano, Geronimo Cardano, Gerolamo Cardano, Hieronymus Cardanus, (ur. 24 września 1501 w Pawii, zm. 21 września 1576 w Rzymie) – włoski matematyk, astrolog i lekarz epoki renesansu.

Liczby zespolone pozbawione części rzeczywistej, a zatem leżące bezpośrednio na osi pionowej płaszczyzny zespolonej, nazywane są liczbami urojonymi, zaś liczby pozbawione części urojonej, a więc leżące bezpośrednio na osi poziomej, to liczby rzeczywiste. Zbiór liczb zespolonych zawiera zatem w sobie zbiór liczb rzeczywistych, rozszerzony w celu umożliwienia rozwiązywania takich problemów, które nie posiadają rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Poza matematyką liczby zespolone znajdują zastosowanie także w innych dziedzinach nauki, jak fizyka, chemia, biologia, ekonomia, elektrotechnika i statystyka.

Macierz sąsiedztwa (multi)grafu G {displaystyle G} – macierz kwadratowa, w której aij oznacza liczbę krawędzi pomiędzy wierzchołkami i {displaystyle i} i j {displaystyle j} . W przypadku grafów prostych macierz sąsiedztwa jest macierzą zerojedynkową z zerami na głównej przekątnej. Dla grafów nieskierowanych macierz sąsiedztwa jest z definicji symetryczna.Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.

Historia[ | edytuj kod]

Girolamo Cardano – pionier liczb zespolonych

Po raz pierwszy pojęcie liczb zespolonych, jako składających się z części rzeczywistej oraz urojonej, wprowadził niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss w 1832. Problem istnienia pól o ujemnej wartości rozważał znacznie wcześniej włoski matematyk Girolamo Cardano podczas prób znalezienia rozwiązań równań sześciennych w XVI wieku. Nazywał je liczbami fikcyjnymi. Kartezjusz nadał im nazwę liczb urojonych w pracy wydanej w 1637. Samo istnienie pierwiastka kwadratowego liczby ujemnej było najprawdopodobniej po raz pierwszy rozważane już w starożytności przez Herona z Aleksandrii.

Teoria grafów to dział matematyki i informatyki zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

Postać algebraiczna (kanoniczna)[ | edytuj kod]

Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci

gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz jest tak zwaną jednostką urojoną, to znaczy jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniających warunek (drugim elementem jest ). Spotyka się czasami zapis który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5Macierz jednostkowa (identycznościowa, tożsamościowa) – macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:

Postać nazywana jest postacią algebraiczną (albo kanoniczną) liczby zespolonej

Dla liczby definiuje się jej

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).
  • część rzeczywistą (łac. pars realis) jako (inne oznaczenia: ),
  • część urojoną (łac. pars imaginaria) jako (inne oznaczenia: ).
  • Przykładowo liczba jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi a część urojona Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

    Liczby postaci nazywa się liczbami urojonymi.

    Zapis alternatywny[ | edytuj kod]

    W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych i tym podobnych zapis może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery do innych celów, na przykład chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie w którym to oznacza jednostkę urojoną.

    Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):Porządek leksykograficzny – porządek w zbiorze ciągów X ∗ {displaystyle X^{*}} pewnego zbioru X {displaystyle X} indukowany przez porządek ≼ {displaystyle preccurlyeq } w zbiorze X {displaystyle X} .
    Wykres funkcji

    wykonany za pomocą techniki kolorowania dziedziny. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł.

    Równość[ | edytuj kod]

    Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe. Innymi słowy, liczby zespolone oraz są równe wtedy i tylko wtedy, gdy oraz

    Grupa Galois – grupa związana z określonym rodzajem rozszerzenia ciała. Badanie rozszerzeń ciał (i wielomianów je produkujących) za pomocą grup Galois nazywa się teorią Galois, której nazwa pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który pierwszy zastosował wspomnianą metodę. Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

    Działania[ | edytuj kod]

    Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, przy czym

    Elektrotechnika (inżynieria elektryczna) - dziedzina techniki i nauki, która zajmuje się zagadnieniami związanymi z wytwarzaniem, przetwarzaniem (przekształcaniem), przesyłaniem, rozdziałem, magazynowaniem i użytkowaniem energii elektrycznej.Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

    Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

    Roman Stanisław Ingarden (ur. 1 października 1920 w Zakopanem, zm. 12 lipca 2011 w Krakowie) – polski fizyk matematyczny specjalizujący się w optyce i termodynamice statystycznej, syn filozofa Romana Witolda Ingardena, ojciec architekta Krzysztofa Ingardena oraz lekarza weterynarii Jacka Ingardena.Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.
    Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika (Wydawnictwo Naukowe UMK, Wydawnictwo UMK) działa jako jednostka ogólnouczelniana Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu.Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]




    Warto wiedzieć że... beta

    Analiza zespolona – dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych – w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Ma zastosowania w teorii liczb, teorii fraktali, matematyce stosowanej, teorii przestrzeni Hilberta a także w pewnych dziedzinach fizyki.
    Ciało uporządkowane – ciało K, w którym wyróżniony jest zbiór D elementów dodatnich o następujących własnościach:
    Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.
    Sedeniony (symbol S {displaystyle mathbb {S} } ) – rodzina liczb hiperzespolonych.
    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.
    Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

    Reklama