• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Liczby p-adyczne



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5Ciąg Cauchy’ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

    W matematyce -adyczny system liczbowy dla dowolnej liczby pierwszej stanowi rozszerzenie arytmetyki liczb wymiernych w sposób istotnie różny od rozszerzenia do liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Rozszerzenie to uzyskuje się przez alternatywną interpretację pojęcia „bliskości” czy też wartości bezwzględnej. W szczególności, dwie liczby -adyczne są bliskie, gdy ich różnica jest podzielna przez wysoką potęgę Ta własność sprawia, że liczby -adyczne dobrze służą do opisu kongruencji. Okazuje się, że dzięki temu znajdują zastosowanie w teorii liczb, w tym w słynnym dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata odkrytym przez Andrew Wilesa.

    Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

    Liczby -adyczne zostały po raz pierwszy opisane przez Kurta Hensela w 1897 roku, chociaż niejawne odwołania do nich można znaleźć także we wcześniejszych pracach Kummera. Hensel zajmował się nimi, gdyż chciał przenieść techniki stosowane normalnie wobec szeregów potęgowych do teorii liczb. Obecnie wpływ liczb -adycznych wykracza szeroko poza samą teorię liczb. Dla przykładu, analiza -adyczna jest alternatywą dla klasycznego rachunku różniczkowego i całkowego.

    Kongruencja a. przystawanie – relacja równoważności określona w danym systemie algebraicznym. Jedną z najbardziej znanych kongruencji jest przystawanie liczb całkowitych.Sir Andrew John Wiles (ur. 11 kwietnia 1953 w Cambridge) – mieszkający w USA angielski matematyk specjalizujący się w teorii liczb. Znany przede wszystkim z udowodnienia słynnego wielkiego twierdzenia Fermata.

    Formalniej, dla ustalonej liczby ciało liczb -adycznych jest uzupełnieniem liczb wymiernych. Zadana jest na nim topologia pochodząca od metryki, która to zdefiniowana jest w terminach -adycznego rzędu, alternatywnej waluacji na liczbach wymiernych. Ta przestrzeń metryczna jest zupełna, to znaczy każdy ciąg Cauchy’ego zbiega do pewnego punktu w Umożliwia to rozwój analizy nad nowym ciałem. Właśnie interakcja analitycznej oraz algebraicznej struktury sprawia, że liczby -adyczne są takie użyteczne.

    Systemy pozycyjne – metody zapisywania liczb (in. systemy liczbowe) w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Np. powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć. Tym samym napis 46532 oznacza 4 × 10 4 + 6 × 10 3 + 5 × 10 2 + 3 × 10 1 + 2 × 10 0 = 46532 {displaystyle 4 imes 10^{4}+6 imes 10^{3}+5 imes 10^{2}+3 imes 10^{1}+2 imes 10^{0}=46532} .Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.

    Rozwinięcia -adyczne[ | edytuj kod]

    Jeżeli ustalimy liczbę pierwszą to każda dodatnia liczba całkowita może zostać zapisana w systemie pozycyjnym o podstawie jako gdzie całkowite liczby spełniają nierówności Dla przykładu, możemy rozwinąć jako Podobne rozwinięcia istnieją także dla liczb wymiernych (oraz rzeczywistych), musimy jednak dopuścić sumy o nieskończenie wielu składnikach oraz sumy ujemne, czyli

    Modulo – operacja wyznaczania reszty z dzielenia jednego typu liczbowego przez drugi. W dalszym ciągu napis a   mod   d = r {displaystyle a {mod { }}d=r} będzie oznaczał, iż r {displaystyle r} jest resztą z dzielenia a {displaystyle a} przez d {displaystyle d} .Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

    Precyzyjne określenie, czym są te nieskończone sumy, opiera się na ciągach Cauchy’ego oraz wartości bezwzględnej jako metryki. Liczby -adyczne również definiuje się przy pomocy nieskończonych sum. „Wielkość” liczby naturalnej określa jej odległość od zera na osi liczbowej, podczas gdy „wielkość” liczby -adycznej zależy od tego, jak bardzo jest podzielna przez potęgi (im liczba bardziej podzielna, tym mniejsza). Rozpatrzmy szeregi gdzie jest niekoniecznie dodatnią liczbą całkowitą, zaś to cyfry -adyczne, czyli rozwinięcia -adyczne liczb -adycznych. Te liczby, dla których dla nazywamy -adycznymi liczbami całkowitymi (dla odróżnienia od całkowitych liczb wymiernych, to jest elementów zbioru ). Zbiór wszystkich całkowitych liczb -adycznych oznacza się przez czego nie należy mylić z pierścieniem liczb całkowitych modulo (ten będziemy oznaczać przez ).

    Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

    Chociaż można w ten sposób zdefiniować liczby -adyczne i badać ich własności (jak robi się to z liczbami rzeczywistymi), matematycy preferują inne podejścia. Dwie różne i równoważne konstrukcje przedstawione są w następnej sekcji.

    Rachunek różniczkowy i całkowy – dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcia pochodnych i całek.Kurt Hensel (ur. 29 grudnia 1861 w Królewcu, zm. 1 czerwca 1941 w Marburgu) – niemiecki matematyk. Spokrewniony z rodziną Mendelssohn-Bartholdy. Jego dziadkiem od strony ojca był Wilhelm Hensel a babką Fanny Hensel z domu Mendelssohn. Mąż Gertrudy Hahn - córki przemysłowca Alberta Hahn i siostry pedagoga Kurta Hahn. Ojciec czterech córek (Ruth, Lilii, Marii i Charlotty) oraz Alberta Hensela - prawnika, specjalizującego się w prawie podatkowym.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Warto wiedzieć że... beta

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
    Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.
    Przestrzeń zupełna – przestrzeń metryczna, dla której każdy określony na niej ciąg Cauchy’ego ma granicę należącą do tej przestrzeni.
    Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.
    Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.
    Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.028 sek.