Liczby dualne

Przeczytaj także...
Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.Dzielnik zera – element a {displaystyle a} pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element b {displaystyle b} spełniający a b = 0 {displaystyle ab=0} .
Liczby podwójne – wyrażenia postaci Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {displaystyle a+bjmath } , gdzie a , b ∈ R {displaystyle a,bin mathbb {R} } , Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {displaystyle jmath otin mathbb{R}} oraz Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {displaystyle jmath^2 = 1} .

Liczby dualne – wyrażenia postaci z = a + b ϵ {\displaystyle z=a+b\epsilon } $z=a+b\epsilon$ , gdzie a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } $a,b\in \mathbb {R}$ oraz ϵ 2 = 0 {\displaystyle \epsilon ^{2}=0} $\epsilon^2=0$ ( ϵ {\displaystyle \epsilon } $\epsilon$ jest nilpotentem).

Element nilpotentny lub nilpotent pierścienia R {displaystyle R} - element x {displaystyle x} pierścienia R {displaystyle R} o tej własności, żeIzomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) − funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ z następującymi dwoma działaniami: ( a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , b + d ) {\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)} $(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$ ( a , b ) ⊗ ( c , d ) = ( a c , a d + b c ) {\displaystyle (a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc)} $(a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc)$ .

Para ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia ⊗ {\displaystyle \otimes } $\otimes$ oraz ( 0 , 1 ) 2 = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,1)^{2}=(0,0)} $(0,1)^{2}=(0,0)$ .

Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.Pierścień przemienny – w teorii pierścieni, dziedzinie algebry abstrakcyjnej, pierścień w którym działanie mnożenia jest przemienne. Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia).

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają tutaj postać ( 0 , b ) , b ≠ 0 {\displaystyle (0,b),\quad b\neq 0} $(0,b),\quad b\neq 0$ bowiem ( 0 , b ) ⊗ ( 0 , b ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,b)\otimes (0,b)=(0,0)} $(0,b)\otimes (0,b)=(0,0)$ .

Ponieważ ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} $(1,0)$ i ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\varepsilon

gdzie

\varepsilon =(0,1)

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. c + d ε , c ≠ 0 {\displaystyle c+d\varepsilon ,\quad c\neq 0} $c+d\varepsilon ,\quad c\neq 0$ istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych - ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika: ( c + d ε ) − 1 = 1 c + d ε = c − d ε ( c + d ε ) ( c − d ε ) = c − d ε c 2 + c d ε − c d ε − d 2 ε 2 = c − d ε c 2 + 0 = 1 c − d c 2 ε {\displaystyle (c+d\varepsilon )^{-1}={\frac {1}{c+d\varepsilon }}={\frac {c-d\varepsilon }{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}={c-d\varepsilon \over c^{2}+0}={\frac {1}{c}}-{\frac {d}{c^{2}}}\varepsilon } $(c+d\varepsilon )^{-1}={\frac {1}{c+d\varepsilon }}={\frac {c-d\varepsilon }{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}={c-d\varepsilon \over c^{2}+0}={\frac {1}{c}}-{\frac {d}{c^{2}}}\varepsilon$

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2: a + b ϵ ↔ ( a b 0 a ) {\displaystyle a+b\epsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}} $a+b\epsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$ .

w szczególności ϵ ↔ ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle \epsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}} $\epsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ .

Różniczkowanie[]

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych P(x) = p0+p1x+p2x+...+pnx, można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że P(a+bε) = P(a)+bP′(a)ε, gdzie P′ jest pochodną P.

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych: f(a+bε) =f(a)+bf′(a)ε.

Przypisy

z tego względu określenie "liczby dualne" jest nieco mylące - w algebrze najczęściej liczbami określa się jakieś podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych

Zobacz też[]

liczby zespolone,

liczby podwójne,

aksjomaty i konstrukcje liczb.

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

Liczby dualne

Różniczkowanie[]

Przypisy

Zobacz też[]

Reklama