• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Liczby całkowite Gaussa



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Dziedzina całkowitości – niezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.
    Liczby pierwsze Gaussa mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa zostały wyróżnione kolorem zielonym.

    Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) to liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako .

    Pierścieniem uporządkowanym - pierścień przemienny R z z określonym porządkiem liniowym ≤ spełniającym dla dowolnych a, b, c ∈ R warunkiDziedzina Euklidesa (albo pierścień Euklidesa, pierścień euklidesowy) – w teorii pierścieni najbardziej ogólny typ pierścieni, w którym możliwe jest wyznaczenie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.

    Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa, zazwyczaj oznaczany przez . nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy jest takim pierścieniem.

    Element odwracalny – w algebrze dla danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego określonego w pewnej strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego odwrotny względem tego działania.Liczby całkowite Eisensteina (nazywane także liczbami Eisensteina-Jacobiego) – liczby postaci a + b ω {displaystyle a+bomega } , gdzie a {displaystyle a} i b {displaystyle b} są liczbami całkowitymi,

    Elementami odwracalnymi pierścienia są: . Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są oraz . Grupa ta działa na i można ja interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez ). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

    Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy można wyrazić za pomocą potęg pewnego jej elementu. Równoważnie jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).
    (I ćwiartka), (II ćwiartka), (III ćwiartka), (IV ćwiartka).

    Elementy pierwsze pierścienia są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w można opisać w następujący sposób:

    1. Jeśli kwadrat modułu liczby z jest w liczbą pierwszą postaci 4n + 1 (gdzie ) , to z jest liczbą pierwszą w . Każda liczba pierwsza w postaci 4n + 1 rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
    2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej .
    3. Liczba pierwsza w postaci 4n + 3 jest liczbą pierwszą w .

    Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny ().

    Podstrony: 1 [2] [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.049 sek.