• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Lemat Kuratowskiego-Zorna

    Przeczytaj także...
    Łańcuchy to w teorii częściowych porządków i w teorii mnogości podzbiory porządku na których relacja porządkująca jest spójna.Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.
    Lemat – w matematyce twierdzenie pomocnicze, którego głównym zastosowaniem jest uproszczenie dowodów innych, bardziej istotnych twierdzeń. Formalnie jednak każdy lemat jest pełnoprawnym twierdzeniem, a zaklasyfikowanie pewnego twierdzenia jako lematu wynika jedynie ze sposobu jego użycia w innym, obszerniejszym kontekście. Często zdarzało się, że lemat zyskiwał sobie o wiele większe znaczenie od pierwotnego, znajdując szersze zastosowanie i stając się w zasadzie samodzielnym twierdzeniem, którego nazwa wynika z uwarunkowań historycznych.

    Lemat Kuratowskiego-Zornatwierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).

    Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.

    Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku; na świecie wynik ten jest znany jako lemat Zorna, jedynie w Polsce i Rosji nazywany jest lematem Kuratowskiego-Zorna. Jest on równoważny aksjomatowi wyboru – każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego (z użyciem aksjomatów Zermelo-Fraenkela teorii mnogości) – przy czym jest to jedna z bardziej użytecznych jego postaci (zob. pozostałe). Istnieją również dowody wykorzystujące równoważniki aksjomatu wyboru, np. twierdzenie Zermelo, czy twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym.

    Aksjomaty Zermelo-Fraenkela, w skrócie: aksjomaty ZF – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 roku, który został później uzupełniony przez Abrahama Fraenkela.Relacja antysymetryczna, relacja słabo antysymetryczna – dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par ( x , y ) {displaystyle (x,y)} i ( y , x ) {displaystyle (y,x)} dla różnych x {displaystyle x} i y {displaystyle y} .

    Twierdzenie[]

    Zbiór nazywa się częściowo uporządkowanym przez (dwuargumentową) relację (tzw. częściowy porządek), jeśli jest ona zwrotna (), antysymetryczna ( oraz pociągają ) i przechodnia ( oraz pociągają ); jeśli to element nazywa się późniejszym od (a element nazywa się wcześniejszym od ).

    Max August Zorn (ur. 6 czerwca 1906 w Krefeld, Niemcy, zm. 9 marca 1993 w Bloomington) - amerykański matematyk pochodzenia niemieckiego. Niezależnie od Kazimierza Kuratowskiego dowiódł słuszności lematu zwanego lematem Kuratowskiego-Zorna.Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

    Podzbiór zbioru nazywa się liniowo uporządkowanym, jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji zbiór nazywa się wtedy łańcuchem w Element nazywa się ograniczeniem górnym łańcucha jeśli element jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.

    Twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym - twierdzenie w teorii mnogości ZFC mówiące, że każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany zawiera łańcuch maksymalny w sensie inkluzji (to znaczy taki łańcuch, który nie jest zawarty w sposób właściwy w żadnym innym łańcuchu).Częściowy porządek (ang. partial order) – relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.

    Zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się łańcuchowo zupełnym; element nazywa się maksymalnym w zbiorze jeśli pociąga dla dowolnego

    Relacja przechodnia (tranzytywna) – relacja, która jeśli zachodzi dla pary ( x , y ) {displaystyle (x,y)} oraz pary ( y , z ) {displaystyle (y,z)} , to zachodzi też dla pary ( x , z ) {displaystyle (x,z)} .Twierdzenie Zermelo – twierdzenie matematyczne mówiące o tym, że każdy zbiór daje się dobrze uporządkować. Spotyka się również inną nazwę tego twierdzenia, bardziej oddającą jego treść: twierdzenie o dobrym uporządkowaniu. Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; korzysta się z niego w dowodzie lematu Kuratowskiego-Zorna.
    Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny. Wniosek W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny.

    Bibliografia[]

  • Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0
  • Przypisy

    1. Jeśli jest łańcuchem w rodzinie jak w założeniu, to zawiera każdy ze zbiorów tego łańcucha; stąd jeśli to zbiór ten jest ograniczeniem górnym łańcucha w W ten sposób spełnione są założenia lematu Kuratowskiego-Zorna: ograniczeniem górnym dowolnego niepustego łańcucha jest jego suma, zaś pustego – przez dowolny element czyli w rodzinie istnieje element maksymalny.
    Warunek wystarczający (inaczej warunek dostateczny) – każdy warunek, z którego dany fakt wynika. Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Relacja – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.
    Matematyka (z łac. mathematicus, od gr. μαθηματικός mathēmatikós, od μαθηματ-, μαθημα mathēmat-, mathēma, „nauka, lekcja, poznanie”, od μανθάνειν manthánein, „uczyć się, dowiedzieć”; prawd. spokr. z goc. mundon, „baczyć, uważać”) – nauka dostarczająca narzędzi do otrzymywania ścisłych wniosków z przyjętych założeń, zatem dotycząca prawidłowości rozumowania. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.
    Relacja zwrotna – relacja, która zachodzi dla każdej pary postaci ( x , x ) {displaystyle (x,x),} .

    Reklama