Kwaterniony (daw. czwarki Hamiltona) – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, należąca do klasy zbiorów liczb hiperzespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez H {\displaystyle \mathbb {H} } od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.

Konstrukcje[ | edytuj kod]

Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.

Kwaternion jako suma algebraiczna[ | edytuj kod]

Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać: q = a ⋅ e + b ⋅ i + c ⋅ j + d ⋅ k , {\displaystyle q=a\cdot \mathbf {e} +b\cdot \mathbf {i} +c\cdot \mathbf {j} +d\cdot \mathbf {k} ,} gdzie : a , b , c , d ∈ R {\displaystyle :a,b,c,d\in \mathbb {R} } zaś e , i , j , k {\displaystyle \mathbf {e,i,j,k} } są pewne obiekty (jednostki urojone) podobne do wartości i {\displaystyle i} w liczbach zespolonych, gdyż zachodzi zależność i 2 = j 2 = k 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1.}

Dodawanie i mnożenie kwaternionów, w postaci algebraicznej, wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych e , i , j , k , {\displaystyle \mathbf {e,i,j,k} ,} przy czym mnożenie jednostek e , i , j , k {\displaystyle \mathbf {e,i,j,k} } z uwzględnieniem ich kolejności określa tabelka po prawej.

e {\displaystyle e} jest to element neutralny, tak jak w przypadku innych struktur algebraicznych jak np. grup. Często nie uwzględniany w zapisie kwaternionu, dlatego a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu q . {\displaystyle q.}

Wtedy: i 2 = j 2 = k 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1} i j = − j i = k {\displaystyle ij=-ji=k} k i = − i k = j {\displaystyle ki=-ik=j} j k = − k j = i {\displaystyle jk=-kj=i}

Przykład[ | edytuj kod]

Niech

x = 2 + 3 i + 4 k {\displaystyle x=2+3i+4k}

y = 2 + 3 j + 2 k {\displaystyle y=2+3j+2k}

Wtedy x + y = 4 + 3 i + 3 j + 6 k , {\displaystyle x+y=4+3i+3j+6k,} x y = ( 2 + 3 i + 4 k ) ( 2 + 3 j + 2 k ) = 2 ( 2 + 3 j + 2 k ) + 3 i ( 2 + 3 j + 2 k ) + 4 k ( 2 + 3 j + 2 k ) = 4 + 6 j + 4 k + 6 i + 9 i j + 6 i k + 8 k + 12 k j + 8 k 2 = 4 + 6 j + 4 k + 6 i + 9 k + 6 ( − j ) + 8 k + 12 ( − i ) + 8 ( − 1 ) = − 4 − 6 i + 21 k {\displaystyle {\begin{aligned}xy&=(2+3i+4k)(2+3j+2k)\\&=2(2+3j+2k)+3i(2+3j+2k)+4k(2+3j+2k)\\&=4+6j+4k+6i+9ij+6ik+8k+12kj+8k^{2}\\&=4+6j+4k+6i+9k+6(-j)+8k+12(-i)+8(-1)\\&=-4-6i+21k\end{aligned}}}

Kwaterniony jako macierze zespolone[ | edytuj kod]

Kwaterniony zdefiniowane są jako macierze z przestrzeni M 2 × 2 ( C ) {\displaystyle M_{2\times 2}(\mathbb {C} )} postaci

[ z w − w ¯ z ¯ ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}z&w\\-{\overline {w}}&{\overline {z}}\end{bmatrix}},}

gdzie z , w ∈ C . {\displaystyle z,w\in \mathbb {C} .}

Podstawowe własności:

[ z w − w ¯ z ¯ ] + [ x y − y ¯ x ¯ ] = [ z + x w + y − ( w + y ) ¯ z + x ¯ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}z&w\\-{\overline {w}}&{\overline {z}}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}x&y\\-{\overline {y}}&{\overline {x}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z+x&w+y\\-{\overline {(w+y)}}&{\overline {z+x}}\end{bmatrix}}}

[ z w − w ¯ z ¯ ] ⋅ [ x y − y ¯ x ¯ ] = [ z x − w y ¯ z y + w x ¯ − ( z y + w x ¯ ) ¯ ( z x − w y ¯ ) ¯ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}z&w\\-{\overline {w}}&{\overline {z}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x&y\\-{\overline {y}}&{\overline {x}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}zx-w{\overline {y}}&zy+w{\overline {x}}\\-{\overline {(zy+w{\overline {x}})}}&{\overline {(zx-w{\overline {y}})}}\end{bmatrix}}}

dla kwaternionu q ≠ 0 {\displaystyle q\neq 0} istnieje kwaternion odwrotny do q {\displaystyle q} zadany wzorem:

q − 1 = [ z w − w ¯ z ¯ ] − 1 = 1 | z | 2 + | w | 2 ⋅ [ z ¯ − w w ¯ z ] . {\displaystyle q^{-1}={\begin{bmatrix}z&w\\-{\overline {w}}&{\overline {z}}\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{|z|^{2}+|w|^{2}}}\cdot {\begin{bmatrix}{\overline {z}}&-w\\{\overline {w}}&z\end{bmatrix}}.}

[ 1 0 0 1 ] , [ 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}

[ i 0 0 − i ] ⋅ [ 0 1 − 1 0 ] =   − [ 0 1 − 1 0 ] ⋅ [ i 0 0 − i ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}=\ -{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}}

Z konstrukcji macierzowej bezpośrednio wynika izomorficzność tabelki mnożenia jednostek kwaternionu po prawej.

[ z w − w ¯ z ¯ ] = [ a + b i c + d i − c + d i a − b i ] = a [ 1 0 0 1 ] + b [ i 0 0 − i ] + c [ 0 1 − 1 0 ] + d [ 0 i i 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}z&w\\-{\overline {w}}&{\overline {z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}=a{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}+c{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}+d{\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}

I wystarczy przyjąć oznaczenia:

e = [ 1 0 0 1 ] , i = [ i 0 0 − i ] , j = [ 0 1 − 1 0 ] , k = [ 0 i i 0 ] {\displaystyle \mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {i} ={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}},\quad \mathbf {j} ={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {k} ={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}

Kwaternion jako para liczb zespolonych.[ | edytuj kod]

W tej konstrukcji każdy kwaternion jest parą pewnych liczb zespolonych: q = ( z , w ) , {\displaystyle q=(z,w),} gdzie z , w ∈ C . {\displaystyle z,w\in \mathbb {C} .} W tym zbiorze definiuje się działania:

( z , w ) + ( x , y ) = ( z + x , w + y ) , {\displaystyle (z,w)+(x,y)=(z+x,w+y),}

( z , w ) ⋅ ( x , y ) = ( z x − w y ¯ ,   z y + w x ¯ ) . {\displaystyle (z,w)\cdot (x,y)=(zx-w{\overline {y}},\ zy+w{\overline {x}}).}

Izomorficzność tej struktury z kwaternionami w postaci macierzowej wynika stąd, że zdefiniowana tu para liczb zespolonych jest pierwszym wierszem w macierzy definiującej kwaterniony, a pierwszy wiersz kwaternionu macierzowego jednoznacznie określa całą macierz.

Kwaternion jako macierz rzeczywista[ | edytuj kod]

Innym sposobem zapisu macierzowego jest [ a b − d − c − b a − c d d c a b c − d − b a ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\;\;a&\;\;b&-d&-c\\-b&\;\;a&-c&\;\;d\\\;\;d&\;\;c&\;\;a&\;\;b\\\;\;c&-d&-b&\;\;a\end{bmatrix}},\;{}} dla a , b , c , d ∈ R . {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} .}

Własności algebraiczne kwaternionów[ | edytuj kod]

Własności algebraiczne wynikają z własności algebry macierzy zespolonych M 2 × 2 ( C ) : {\displaystyle M_{2\times 2}(\mathbb {C} ){:}}

dodawanie kwaternionów jest łączne i przemienne, czyli ( q + r ) + s = q + ( r + s ) {\displaystyle (q+r)+s=q+(r+s)} oraz q + r = r + q {\displaystyle q+r=r+q}

mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli ( q r ) s = q ( r s ) , {\displaystyle (qr)s=q(rs),} ale nie jest przemienne (np. i j ≠ j i {\displaystyle \mathbf {ij} \neq \mathbf {ji} } )

q ( r + s ) = q r + q s , {\displaystyle q(r+s)=qr+qs,}

( r + s ) q = r q + s q {\displaystyle (r+s)q=rq+sq}

Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy więc grupę abelową. Zbiór niezerowych kwaternionów z mnożeniem jest grupą nieabelową. Ponieważ zachodzi rozdzielność obustronna mnożenia względem dodawania, kwaterniony z dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny z dzieleniem. Spełnione są więc wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem przemienności q r = r q . {\displaystyle qr=rq.}

Niektóre podstruktury[ | edytuj kod]

Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, można w nich zanurzyć te ciała:

kwaterniony postaci q = a + 0 i + 0 j + 0 k , a ∈ R {\displaystyle q=a+0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +0\mathbf {k} ,a\in \mathbb {R} } można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi,

{ q = a + b i : a , b ∈ R } , {\displaystyle \{q=a+b\mathbf {i} :a,b\in \mathbb {R} \},}

{ q = a + b j : a , b ∈ R } , {\displaystyle \{q=a+b\mathbf {j} :a,b\in \mathbb {R} \},}

{ q = a + b k : a , b ∈ R } . {\displaystyle \{q=a+b\mathbf {k} :a,b\in \mathbb {R} \}.}

Grupa kwaternionów[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Grupa kwaternionów.

Zbiór { e , − e , i , − i , j , − j , k , − k } {\displaystyle \{\mathbf {e,-e,i,-i,j,-j,k,-k} \}} z mnożeniem tworzy grupę zwaną grupą kwaternionów i oznaczaną symbolem Q 8 {\displaystyle Q_{8}} (od liczby elementów).