• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Kwaterniony



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Twierdzenie Frobeniusa – twierdzenie algebry mówiące, że każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna z ciałem liczb rzeczywistych, ciałem liczb zespolonych bądź algebrą kwaternionów. Zostało ono udowodnione w 1878 roku przez Ferdinanda Georga Frobeniusa.

    Kwaterniony (daw. czwarki Hamiltona) – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, należąca do grupy liczb hiperzespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

    Zbiór Julii i zbiór Fatou to dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

    Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.

    Matematyk – uczony, którego badania naukowe dotyczą różnych dziedzin matematyki. Matematycy zajmują się wielkością, strukturą, przestrzenią i dynamiką.Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    Konstrukcje[ | edytuj kod]

    Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.

    Tessariny, tessaryny (ang. tessarines, bicomplex numbers – liczby dwuzespolone) to w matematyce grupa liczb hiperrzeczywistych o postaciAlgebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

    Kwaternion jako suma algebraiczna[ | edytuj kod]

    Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać: gdzie zaś są pewne obiekty (jednostki urojone) podobne do wartości i w liczbach zespolonych, gdyż zachodzi zależność .

    Dodawanie i mnożenie kwaternionów, w postaci algebraicznej, wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych przy czym mnożenie jednostek z uwzględnieniem ich kolejności określa tabelka po prawej.

    Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne x ,   y ,   z {displaystyle x, y, z;} :Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.

    jest to element neutralny, tak jak w przypadku innych struktur algebraicznych jak np. grup. Często nie uwzględniany w zapisie kwaternionu, dlatego nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu .

    Kokwaterniony (ang. coquaternions, split-quaternions - kwaterniony rozdzielne) to w matematyce grupa liczb hiperrzeczywistych o postaciDirectX – zestaw funkcji API wspomagających generowanie grafiki (dwu- i trójwymiarowej), dźwięku oraz innych zadań związanych zwykle z grami i innymi aplikacjami multimedialnymi.

    Przykład[ | edytuj kod]

    Niech

    Wtedy

    Kwaterniony jako macierze zespolone[ | edytuj kod]

    Kwaterniony zdefiniowane są jako macierze z przestrzeni postaci

    Nierówność trójkąta – twierdzenie matematyczne mówiące, że dla dowolnego trójkąta miara jednego boku musi być mniejsza lub równa sumie miar dwóch pozostałych, ale większa lub równa od różnicy ich miar. W obu przypadkach równości zachodzą dla trójkątów zdegenerowanych, czyli mających postać odcinka: jeden kąt ma wówczas 180°, dwa pozostałe 0°.William Rowan Hamilton (ur. 4 sierpnia 1805 w Dublinie, zm. 2 września 1865) – matematyk, astronom i fizyk irlandzki.

    gdzie

    Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców.

    Podstawowe własności:

  • suma dwu kwaternionów jest kwaternionem;
  • podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem:
  • dla kwaternionu istnieje kwaternion odwrotny do zadany wzorem:
  • Macierz jednostkowa i zerowa
  • są oczywiście kwaternionami
  • należy zauważyć, że np.
  • czyli mnożenie kwaternionów nie jest przemienne.

    Z konstrukcji macierzowej bezpośrednio wynika izomorficzność tabelki mnożenia jednostek kwaternionu po prawej.

    Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.Saunders Mac Lane (ur. 4 sierpnia 1909 w Taftville, Connecticut, zm. 14 kwietnia 2005 w San Francisco), matematyk amerykański.

    I wystarczy przyjąć oznaczenia:

    Geometria algebraiczna – dziedzina matematyki zajmująca się badaniem specyficznych obiektów geometrycznych, takich jak rozmaitości algebraiczne, metodami algebry. Zajmuje centralne miejsce we współczesnej matematyce; jest spoiwem łączącym tak odległe od siebie dziedziny, jak analizę zespoloną, topologię i teorię liczb. Przenikanie terminologii geometrii algebraicznej i jej definicji do innych gałęzi "królowej nauk" ma odbicie w jednym z najbardziej ambitnych programów unifikacji w matematyce, w programie Langlandsa.Grafika 3D (grafika trójwymiarowa) – nazwa jednej z dziedzin grafiki komputerowej, zajmującej się głównie wizualizacją obiektów trójwymiarowych. Nazwa pochodzi od angielskiego sformułowania Three-Dimensional Graphics.

    Kwaternion jako para liczb zespolonych.[ | edytuj kod]

    W tej konstrukcji każdy kwaternion jest parą pewnych liczb zespolonych: gdzie W tym zbiorze definiuje się działania:

    Hiperpłaszczyzna (dawn. zbiór liniowy) w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej to zbiór rozwiązań równania postaci:Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki, powstały już w starożytności. Zajmuje się on algebrami ogólnymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego rozkładem na czynniki (faktoryzacją) i znajdowaniem ich pierwiastków, choć algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).
  • dodawanie
  • mnożenie
  • Izomorficzność tej struktury z kwaternionami w postaci macierzowej wynika stąd, że zdefiniowana tu para liczb zespolonych jest pierwszym wierszem w macierzy definiującej kwaterniony, a pierwszy wiersz kwaternionu macierzowego jednoznacznie określa całą macierz.

    Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej.

    Kwaternion jako macierz rzeczywista[ | edytuj kod]

    Innym sposobem zapisu macierzowego jest dla

    Własności algebraiczne kwaternionów[ | edytuj kod]

    Własności algebraiczne wynikają z własności algebry macierzy zespolonych

    Biblioteka Narodowa Francji (fr. Bibliothèque nationale de France, BnF) – francuska biblioteka narodowa, znajdująca się w Paryżu. Przewidziana jest jako repozytorium dla wszystkich materiałów bibliotecznych, wydawanych we Francji. Obecnym dyrektorem Biblioteki jest Bruno Racine.Astronomia sferyczna – jeden z najstarszych działów astronomii (a ściślej, astrometrii), zajmujący się matematycznym opisem widomych położeń ciał niebieskich i ich zmian, układami współrzędnych niebieskich itp. Jego nazwa wzięła się stąd, że kierunki ku obiektom na niebie dla ułatwienia często określa się poprzez podporządkowanie im odpowiednich punktów na powierzchni kuli, czyli sferze.
  • dodawanie kwaternionów jest łączne i przemienne, czyli oraz
  • mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli ale nie jest przemienne (np. )
  • zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
  • każdy niezerowy element ma element odwrotny do siebie.
  • Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy więc grupę abelową. Zbiór niezerowych kwaternionów z mnożeniem jest grupą nieabelową. Ponieważ zachodzi rozdzielność obustronna mnożenia względem dodawania, kwaterniony z dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny z dzieleniem. Spełnione są więc wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem przemienności

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Geometria różniczkowa – dziedzina geometrii, badająca krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami, opierając się na geometrii analitycznej, szeroko stosując metody analizy matematycznej, głównie rachunku różniczkowego.

    Niektóre podstruktury[ | edytuj kod]

    Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, można w nich zanurzyć te ciała:

  • kwaterniony postaci można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi,
  • następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
  • Grupa kwaternionów[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Grupa kwaternionów.

    Zbiór z mnożeniem tworzy grupę zwaną grupą kwaternionów i oznaczaną symbolem (od liczby elementów).

    Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.Pierścień z dzieleniem – struktura algebraiczna spełniająca wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem aksjomatu przemienności mnożenia. Każde ciało jest więc pierścieniem z dzieleniem. Mimo że iloczyn w niżej opisanych pierścieniach i algebrach jest łączny, rozważa się także niełączne algebry z dzieleniem, np. algebrę oktonionów.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]




    Warto wiedzieć że... beta

    Rozmaitość w matematyce, a szczególnie w geometrii różniczkowej i topologii, to podzbiór przestrzeni euklidesowej, który w dowolnym lokalnym obszarze można opisać (w ogólności wielowymiarową) funkcją gładką. Bardziej ogólnie rozmaitość topologiczną można przedstawić jako przestrzeń topologiczną, która w odpowiednio małej skali przypomina przestrzeń euklidesową określonego wymiaru, zwaną wymiarem rozmaitości. Stąd, linia i okrąg to rozmaitości jednowymiarowe, powierzchnia i sfera to rozmaitości dwuwymiarowe, i tak dalej w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów. Bardziej formalnie, każdy punkt rozmaitości n-wymiarowej ma homeomorficzne sąsiedztwo w otwartym podzbiorze n-wymiarowej przestrzeni R.
    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
    Grafika komputerowa – dziedzina informatyki zajmująca się wykorzystaniem technik komputerowych do celów wizualizacji artystycznej oraz wizualizacji rzeczywistości. Grafika komputerowa jest obecnie narzędziem powszechnie stosowanym w nauce, technice oraz rozrywce.
    Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.
    Wiązka wektorowa jest pojęciem matematycznym, dotyczącym topologii. Wiązka wektorowa to przestrzeń topologiczna z dołączoną przestrzenią wektorową w każdym punkcie w taki sposób, że całość tworzy także przestrzeń topologiczną.
    Macierze obrotu w przestrzeni n-wymiarowej tworzą grupę O(n), jeżeli spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach
    Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo – osiem), liczby Cayleya – rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Zostały równolegle odkryte przez dwóch matematyków: Johna T. Gravesa w roku 1843 i Arthura Cayleya w roku 1845.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.122 sek.