• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Krzywizna krzywej

    Przeczytaj także...
    Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – w analizie matematycznej twierdzenie mówiące o tym, że że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła f, to pochodna jej funkcji górnej granicy całkowania jest równa f. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.
    Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditcha – w matematyce krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem

    Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

    Natomiast krzywiznę ze znakiem:

    Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

    gdzie jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a długością tego łuku.

    Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.Normalna do krzywej C w punkcie X to prosta L, przechodząca przez ten punkt i prostopadła do stycznej do krzywej w tym punkcie.

    Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

    Wzory na krzywiznę w punkcie są następujące:

    Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).Kąt (płaski) w geometrii euklidesowej – każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Czyli jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).
  • Dla krzywej określonej funkcją w układzie kartezjańskim:
  • Dla krzywej określonej parametrycznie w układzie kartezjańskim:
  • Dla krzywej określonej funkcją w układzie biegunowym:
  • Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie P nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

    Ewoluta (łac. evolutus, rozwinięty) a. rozwinięta krzywej k {displaystyle k} – krzywa utworzona ze środków krzywizny krzywej k {displaystyle k} .Funkcja uwikłana – funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór.

    Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie nazywamy punkt , leżący na normalnej do krzywej w punkcie P po stronie jej wklęsłości w odległości od P równej promieniowi krzywizny.

    Symbol bądź wyrażenie nieoznaczone – wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji. Zalicza się do nich:Krzywa – w matematyce jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, czy geometria różniczkowa; stosowane również w mowie potocznej. Mimo intuicyjnej prostoty okazało się ono być bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.

    Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie P krzywej są następujące:

  • Dla krzywej o równaniu :
  • Dla krzywej o równaniach :
  • Dowód[]

    Kruemmung winkel illustration.svg

    Krzywizna krzywej w punkcie jest równa granicy ilorazu kąta pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach i a długością łuku między a gdy :

    Łuk zwykły krzywej – na płaszczyźnie: miejsce geometryczne punktów, których współrzędne spełniają równanie y=f(x), gdzie odcięta x przybiera wartości z przedziału domkniętego [a,b] i w tym przedziale funkcja f(x) jest ciągła i ma ciągłą pochodną. Łuk zwykły ma wiele ważnych własności. Podczas wzrastania odciętej x od x=a do x=b punkt K(x,y) przebiega łuk AB krzywej w jednym kierunku od punktu A do punktu B (punkty te odpowiadają wartościom x=a i x=b). Punkty K(x,y) łuku odpowiadają punktom przedziału domkniętego [a,b] osi odciętych. Łuk zwykły nie może przecinać siebie.

    Kąt mozna inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

    Natomiast długość łuku jako całkę oznaczoną:

    Wtedy, zważając na to, że :

    Zmierzamy się z wyrażeniem nieoznaczonym , dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala:

    Pochodna jest równa , natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego mamy:

    Dla funkcji uwikłanej wystarczy zamienić na przez co wzór przyjmuje następującą postać:

    Jest wtedy jednak zależny zarówno od jak i .

    Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

    Przykłady[]

    Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

    Wartości poszczególnych pochodnych:

    Krzywizna jako funkcja parametru t:

    W szczególności dla okręgu krzywizna nie zależy od parametru t:

    Natomiast dla elipsy krzywizna zależy od parametru t: Uwaga

    W ogólnym przypadku krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie , dla których ).

    Zobacz też[]

  • łuk zwykły
  • ewoluta



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.178 sek.