• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Konstrukcje klasyczne

    Przeczytaj także...
    Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.
    Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n {displaystyle n} -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli n {displaystyle n} jest liczbą postaci 2 k ⋅ p 1 ⋅ p 2 ⋯ ⋅ p s , {displaystyle 2^{k}cdot p_{1}cdot p_{2}dots cdot p_{s},} gdzie p 1 ,   p 2 ,   … p s ,   {displaystyle p_{1}, p_{2}, dots p_{s}, } są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F 0 = 3 {displaystyle F_{0}=3} , F 1 = 5 {displaystyle F_{1}=5} , F 2 = 17 {displaystyle F_{2}=17} , F 3 = 257 {displaystyle F_{3}=257} , F 4 = 65537 {displaystyle F_{4}=65537} i nie wiadomo, czy jest ich więcej.
    Cyrkiel i linijka (PL).png

    Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i liniału – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki (liniału).

    Zasady konstrukcji[]

    Możliwe operacje przy konstrukcjach klasycznych: u góry (na czerwono) argumenty operacji, na dole (na czerwono) wynik operacji.

    Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane:

    Rektyfikacja okręgu czyli wyprostowanie okręgu – zadanie polegające na skonstruowaniu przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki, odcinka, którego długość jest równa obwodowi danego okręgu. Konstrukcja ta jest niewykonalna, co wynika z faktu, iż π jest liczbą przestępną. Znanych jest wiele konstrukcji przybliżonych, jedna z nich została podana w 1685 roku przez nadwornego matematyka króla Jana III Sobieskiego, Adama Adamandego Kochańskiego.Podwojenie sześcianu (inaczej nazywany problemem delijskim) – jedno z trzech, obok trysekcji kąta i kwadratury koła, wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej, polegające na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany.
  • dwie proste,
  • prostą i okrąg,
  • dwa okręgi,
  • można znaleźć ich punkty wspólne lub stwierdzić, że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone.

    Słynne problemy starożytności[]

    Kwadratura koła

    Trzy słynne problemy starożytnej matematyki greckiej: trysekcja kąta (podział danego kąta na trzy równe części), podwojenie sześcianu (wyznaczenie boku sześcianu o objętości dwa razy większej niż sześcian dany) i kwadratura koła (konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła) nie mogą być rozwiązane przy pomocy cyrkla i linijki, ale dowód tego podany został dopiero w roku 1837 przez Pierre Wantzela i jest wnioskiem z twierdzenia noszącego dziś jego imię. Konstrukcje te mogą być jednak rozwiązane w przybliżeniu z dowolną założoną dokładnością. Podejmowano również próby zrealizowania innych niewykonywalnych konstrukcji, np. siedmiokąta foremnego czy powiązanej z kwadraturą koła rektyfikacji okręgu (konstrukcji odcinka o długości równej obwodowi danego okręgu).

    Sześcian (właściwie sześcian foremny, inaczej heksaedr) – wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada dwanaście krawędzi, osiem wierzchołków i 4 przekątne. Ścinając odpowiednio wierzchołki sześcianu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie sześcian ścięty.Cyrkiel – przyrząd kreślarski służący do kreślenia okręgów i odmierzania odcinków. Stosuje się go do rysowania na papierze, brystolu czy kalce technicznej, a także do trasowania na półwyrobach. Do wyposażenia tzw. cyrkli uniwersalnych, czyli używanych do kreślenia rysunków, należały:

    Konstrukcje samą linijką[]

    Jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem (twierdzenie Ponceleta-Steinera).

    Konstrukcje samym cyrklem[]

    Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii (twierdzenie Mohra-Mascheroniego).

    Zobacz też[]

  • twierdzenie Gaussa-Wantzela
  • Twierdzenie Wantzela mówi, że: Jeżeli dana liczba rzeczywista lub liczba zespolona z jest konstruowalna przy pomocy cyrkla i linijki, to z jest pierwiastkiem pewnego wielomianu nierozkładalnego o współczynnikach wymiernych, którego stopień jest potęgą liczby 2, to znaczy jedną z liczb 1, 2, 4, 8, 16 ...Kąt (płaski) w geometrii euklidesowej – każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Czyli jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Linijka – mały liniał rysunkowy, prosty przyrząd kreślarski o kształcie prostokąta i przekroju trapezu. Najczęściej z naniesioną podziałką mianowaną, jednostronną. Używana do kreślenia linii prostych.
    Pierre Laurent Wantzel (ur. 5 czerwca 1814 r. w Paryżu, zm. 21 maja 1848 r. w Paryżu) – matematyk francuski, autor twierdzenia o konstruowalności figur płaskich za pomocą cyrkla i linijki.
    Twierdzenie Ponceleta-Steinera - mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych.
    Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.
    Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta φ {displaystyle varphi } kąt o mierze 1 3 φ {displaystyle { frac {1}{3}}varphi } jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
    Siedmiokąt foremny – wielokąt foremny o siedmiu równych bokach oraz kątach wewnętrznych o mierze 128,(571428)°. Niemożliwy do skonstruowania za pomocą cyrkla i linijki. Ma dwa razy więcej przekątnych niż boków.
    Twierdzenie Mohra-Mascheroniego - mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.054 sek.