Grupa
pierwiastków z jedynki piątego stopnia z działaniem mnożenia jest izomorficzna z grupą obrotów foremnego pięciokąta.
Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.
Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Język grecki, greka (starogr. dialekt attycki Ἑλληνικὴ γλῶττα, Hellenikè glõtta; nowogr. Ελληνική γλώσσα, Ellinikí glóssa lub Ελληνικά, Elliniká) – język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi. Język grecki jest jedynym językiem z helleńskich naturalnych, który nie wymarł.
W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie
f
{\displaystyle f}
takie, że
f
{\displaystyle f}
i jego odwrotność
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
są homomorfizmami.
Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.
O strukturach
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
i
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
w
B
.
{\displaystyle {\mathcal {B}}.}
Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.
Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.
Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.
Izomorfizm z grupy
(
A
,
∘
)
{\displaystyle (A,\circ )}
w grupę
(
B
,
∙
)
{\displaystyle (B,\bullet )}
to bijekcja
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że
∀
a
,
b
∈
A
f
(
a
∘
b
)
=
f
(
a
)
∙
f
(
b
)
.
{\displaystyle \forall _{a,b\in A}\;f(a\circ b)=f(a)\bullet f(b).}
Izomorfizm z ciała
(
K
,
∘
,
+
)
{\displaystyle (K,\circ ,+)}
w ciało
(
L
,
∙
,
◊
)
{\displaystyle (L,\bullet ,\Diamond )}
to bijekcja
g
:
K
→
L
{\displaystyle g\colon K\to L}
taka, że
∀
a
,
b
∈
K
g
(
a
∘
b
)
=
g
(
a
)
∙
g
(
b
)
∧
g
(
a
+
b
)
=
g
(
a
)
◊
g
(
b
)
.
{\displaystyle \forall _{a,b\in K}\;g(a\circ b)=g(a)\bullet g(b)\land g(a+b)=g(a)\;\Diamond \;g(b).}
Izomorfizm z częściowego porządku
(
P
,
<
)
{\displaystyle (P,<)}
w częściowy porządek
(
Q
,
◃
)
{\displaystyle (Q,\triangleleft )}
to funkcja wzajemnie jednoznaczna
h
:
P
→
Q
:
∀
a
,
b
∈
P
a
<
b
⟺
h
(
a
)
◃
h
(
b
)
.
{\displaystyle h\colon P\to Q:\forall _{a,b\in P}\;a<b\iff h(a)\triangleleft h(b).}
Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór
Ω
{displaystyle Omega }
operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
Podstrony: 1 [2] [3]
Warto wiedzieć że... beta
Homomorfizm grup – przekształcenie zachowujące strukturę grup, tj. homomorfizm grup jako struktur algebraicznych. Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy grup są klasy morfizmami kategorii grup, z tego też względu nazywane są one czasem morfizmami grup.
Zbigniew Semadeni (ur. 1 marca 1934 w Warszawie) – polski matematyk zajmujący się analizą funkcjonalną, teorią kategorii oraz dydaktyką matematyki. Ukończył fizykę i matematykę na Uniwersytecie im. Adama Mickiewicza (1956). W latach 1962-1986 pracował w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk w Warszawie. W 1971 roku uzyskał tytuł profesora nadzwyczajnego, a w 1976 roku tytuł profesora zwyczajnego. Profesor emerytowany Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.
Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.
Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.
Częściowy porządek (ang. partial order) – relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.
Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną różną od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia nazywa się dowolną liczbę zespoloną z spełniającą równość: