• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Indukcja matematyczna



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Definicja (z łac. definitio; od czas. definire: de + finire, "do końca, granicy"; od finis: granica, koniec) – wypowiedź o określonej budowie, w której informuje się o znaczeniu pewnego wyrażenia przez wskazanie innego wyrażenia należącego do danego języka i posiadającego to samo znaczenie.
    Indukcja niezupełna[] Aksjomat indukcji matematycznej Jeśli jest podzbiorem który spełnia
  • dla wszystkich jeśli , to
  • to stanowi całość tzn.

    Aksjomat ten można wykorzystać do dowodzenia stwierdzeń postaci „ dla każdego ” jak następuje. Niech będzie zbiorem wszystkich liczb naturalnych, dla których jest prawdziwe. W pierwszym kroku, tzw. bazie indukcji, sprawdza się, czy czyli prawdziwość Następnie zakłada się, że czyli prawdziwość i przy tym założeniu, nazywanym hipotezą indukcyjną, dowodzi się prawdziwości . W ten sposób pokazuje się, że pociąga Z aksjomatu indukcji matematycznej wynika a więc jest prawdziwe dla wszystkich

    Indukcja strukturalna to dość powszechnie stosowany wariant indukcji matematycznej, w którym rozważa się pewien zbiór termów uporządkowany następującą relacją: jeden term jest mniejszy od drugiego wtedy i tylko wtedy, gdy jest jego podtermem.Rekurencja, zwana także rekursją (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie.

    Powyższy aksjomat można więc sformułować w postaci następującej procedury: Zasada indukcji matematycznej Niech będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną . Można dowieść stwierdzenia dla każdego jest zapewniając, że

  • jest prawdziwe,
  • dla wszystkich jeśli jest prawdziwe, to jest prawdziwe.
  • Dowody korzystające z zasady indukcji matematycznej składają się z dwóch kroków. Pierwszym jest dowód prawdziwości w praktyce jest to zwykle dość proste, ale nie wolno zaniedbywać tego kroku. W drugim kroku zakłada się prawdziwość założenie to jest hipotezą indukcyjną, i pod tym założeniem dowodzi prawdziwości Dowód przez indukcję nie będzie pełny (ani poprawny), jeśli przeprowadzi się tylko pierwszy krok, a pominie drugi bądź wykona drugi z kroków, a opuści pierwszy. Kontrastując z opisanym dalej wariantem powyższą zasadę nazywa się też indukcją niezupełną.

    Formuła logiczna to określenie dozwolonego wyrażenia w wielu systemach logicznych, m.in. w rachunku kwantyfikatorów oraz w rachunku zdań.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

    Przykłady[]

    Suma początkowych liczb naturalnych Należy dowieść W tym celu wykorzystana zostanie zasada indukcji matematycznej:
  • a więc wzór jest prawdziwy dla
  • Czyniąc założenie (hipotezę indukcyjną) należy upewnić się, że
  • Otóż a więc wzór jest prawdziwy dla o ile tylko jest prawdziwy dla Stąd Suma początkowych potęg dwójki Należy dowieść
  • Jest co dowodzi prawdziwości stwierdzenia dla
  • Zakładając należy dowieść
  • Ponieważ to wzór jest prawdziwy dla jeśli tylko jest prawdziwy dla Zatem Nierówność Bernoulliego
     Zapoznaj się również z: nierówność Bernoulliego.
    Niech będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Należy udowodnić, że dla wszystkich
  • Skoro to nierówność jest prawdziwa dla
  • Przyjmując wykazana zostanie
  • Zachodzi więc nierówność jest prawdziwa dla o ile jest prawdziwa dla Na mocy zasady indukcji matematycznej dla wszystkich (dla ).

    Indukcja zupełna[]

    Czasami wygodnie jest użyć zasady indukcji w nieco innej postaci. Zakłada się w niej prawdziwość (nie tylko a) każdego z i wnosi o prawdziwości Zapewnia to o prawdziwości dla wszystkich o czym mówi poniższy

    Zbiór induktywny – rodzina zbiorów x {displaystyle x} spełniająca warunkiKwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej na oznaczenie zwrotów: dla każdego, istnieje takie i im pokrewnych, a także odpowiadającym im symbolom wiążacym zmienne w formułach. Są podstawowym elementem w rozwoju logiki pierwszego rzędu.
    Lemat Niech będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną . Zakładając, że
  • jest prawdziwe,
  • dla wszystkich jeśli są prawdziwe, to jest prawdziwe,
  • otrzymuje się prawdziwość dla wszystkich .

    Dzięki niemu zasada indukcji matematycznej może zyskać nową, czasem bardziej użyteczną postać, tzw. indukcji zupełnej.

    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
    Zasada indukcji matematycznej Niech będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną . Można dowieść stwierdzenia dla każdego jest zapewniając, że
  • jest prawdziwe,
  • dla wszystkich jeśli są prawdziwe, to jest prawdziwe.
  • Język w logice matematycznej to pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:


    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.
    Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.
    Zasada dobrego uporządkowania – reguła matematyczna mówiąca, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy.
    Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q , gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: p ∧ q {displaystyle p,land ,q,!} . Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać p(1) i ... i p(n). Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i q
    Schemat aksjomatu – pewien nieskończony zbiór aksjomatów, który można w łatwy sposób przedstawić, zwykle w logice wyższego rzędu.
    Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.
    W teorii mnogości, indukcja pozaskończona to rozszerzenie indukcji matematycznej na zbiory dobrze uporządkowane, czy też nawet na klasę liczb porządkowych.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.111 sek.