Implikacja logiczna

Przeczytaj także...
Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.Symbol relacyjny lub predykat – jest to uogólnienie zmiennych zdaniowych rachunku zdań w rachunku predykatów pierwszego rzędu.
Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.

Implikacja logiczna (wynikanie) – relacja (lub w innym ujęciu symbol relacyjny) pomiędzy teoriami (zbiorami zdań logicznych) T {\displaystyle T} $T$ i B {\displaystyle B} $B$ jest spełniona, gdy każdy model teorii T {\displaystyle T} $T$ jest także modelem teorii B {\displaystyle B} $B$ . Często jest mylona z implikacją materialną, będącą szczególnym przypadkiem zdania.

Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.Zdanie w sensie logiki (zdanie logiczne) – wypowiedź, która stwierdza określony stan rzeczy. Zdanie z języka J stwierdza (na mocy reguł semantycznych J) stan rzeczy s zawsze i tylko wtedy, gdy na mocy reguł semantycznych języka J: zdanie z jest prawdziwe zawsze i tylko wtedy, gdy s a z jest fałszywe zawsze i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że s.

Bez odwoływania się do teorii modeli można stwierdzić, że implikacja logiczna jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest możliwe, że zdanie B {\displaystyle B} $B$ jest fałszywe i jednocześnie wszystkie zdania T {\displaystyle T} $T$ są prawdziwe.

W logice matematycznej teorią nazywamy niesprzeczny zbiór zdań. Dokładniej, niech T będzie zbiorem zdań zapisanych w pewnym języku L. Wtedy T jest teorią, jeśli nie istnieje zdanie napisane w języku L takie że T dowodzi zarówno tego zdania, jak i jego zaprzeczenia. Zbiór zdań T dowodzi zdania X, jeśli można przeprowadzić formalny dowód zdania X przy użyciu zdań ze zbioru T oraz aksjomatów i reguł dowodzenia klasycznego rachunku logicznego.Relacja – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.

Implikacja logiczna jest oznaczana: T ⊨ B {\displaystyle T\models B} $T\models B$

Zawsze prawdziwe prawa logiczne (wynikające z pustego zbioru twierdzeń) oznaczane są: ⊨ B {\displaystyle \models B} $\models B$ .

Jeśli chcemy jakieś prawo logiczne uznać za regułę wnioskowania, czyli dołączać nowe zdania w oparciu o już istniejące, możemy zastosować zapis: T 1 , T 2 , … B {\displaystyle {\frac {T_{1},T_{2},\dots }{B}}} ${\frac {T_{1},T_{2},\dots }{B}}$

oznaczający, że w przypadku, gdy do danej niesprzecznej teorii należą zdania T 1 , T 2 , … {\displaystyle T_{1},T_{2},\dots } $T_{1},T_{2},\dots$ , można do niej dołączyć także zdanie B {\displaystyle B} $B$ , bez spowodowania sprzeczności.

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

Implikacja logiczna

Reklama