• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Iloczyn wektorowy



    Podstrony: [1] [2] 3 [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Iloczyn mieszany[ | edytuj kod]
    Rys 1. Pole równoległoboku jako moduł iloczynu wektorowego.
    Rys 2. Objętość równoległościanu wyznaczona za pomocą iloczynów skalarnego i wektorowego; linie przerywane pokazują rzuty na oraz na w pierwszym kroku znajdowania iloczynów skalarnych.
     Osobny artykuł: iloczyn mieszany.

    Długość iloczynu wektorowego wektorów i to z określenia pole powierzchni równoległoboku o bokach będących tymi wektorami (zob. rys. 1). Z pomocą iloczynu wektorowego definiuje się iloczyn mieszany trójki wektorów wzorem

    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

    W szczególności, zachodzi wzór

    Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

    Iloczyn mieszany trójki wektorów jest równy objętości równoległościanu o bokach będących danymi wektorami (zob rys. 2).

    Mnemotechnika, mnemonika (gr. mneme - pamięć) - ogólna nazwa sposobów ułatwiających zapamiętanie, przechowywanie i przypominanie sobie informacji.Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

    Związki z iloczynem skalarnym[ | edytuj kod]

     Zapoznaj się również z: tożsamość Lagrange’a.

    Iloczyny wektorowy i skalarny są ze sobą związane równością

    Prawa strona tej równości to wyznacznik Grama wektorów oraz czyli kwadrat pola równoległoboku wyznaczanego przez te wektory (to spostrzeżenie znajduje zastosowanie w uogólnieniu przedstawionym w sekcji algebra wieloliniowa). Warunek ten opisuje długość iloczynu tych wektorów; wraz z wymaganiem ortogonalności iloczynu wektorowego do swoich czynników i umożliwia on podanie alternatywnej definicji iloczynu wektorowego: korzystając z własności iloczynu skalarnego, można wyrazić długość za pomocą kąta,

    Macierz przekształcenia liniowego – w algebrze liniowej macierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwoma przestrzeniami współrzędnych.Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

    co z powyższą tożsamością daje

    Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

    Zgodnie z regułą jedynki trygonometrycznej zachodzi równość

    Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

    która była punktem wyjścia dla długości iloczynu wektorowego w interpretacji geometrycznej.

    Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

    Tożsamość daną wzorem

    gdzie i mogą być wektorami -wymiarowymi nazywa się tożsamością Lagrange’a. W przypadku umożliwia ona wyrażenie długości iloczynu wektorowego za pomocą jego składowych:

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Macierz antysymetryczna – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa A = [aij] jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

    Ten sam wynik uzyskuje się bezpośrednio, korzystając ze składowych iloczynu wektorowego otrzymanych ze wzoru wyznacznikowego. Równanie Lagrange’a w jest przypadkiem szczególnym multiplikatywności normy algebry kwaternionów (zob. kwaterniony).

    Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.Hermann Günther Grassmann (ur. 15 kwietnia 1809 w Szczecinie, zm. 26 września 1877 w Szczecinie) – niemiecki polihistor, znany w swoich czasach jako językoznawca, obecnie ceniony jako matematyk. Był także fizykiem, humanistą, pedagogiem i wydawcą.

    Jest to zarazem przypadek szczególny innego wzoru, również nazywanego niekiedy tożsamością Lagrange’a, będącego trójwymiarowym przypadkiem tożsamości Bineta-Cauchy’ego:

    Jeśli oraz to wyrażenie to upraszcza się do powyższego.

    Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.

    Istnieje również własność łącząca iloczyn wektorowy z iloczynem mieszanym:

    Uogólnienia[ | edytuj kod]

    Algebry Liego[ | edytuj kod]

     Zapoznaj się również z: algebra Liego i grupa ortogonalna.

    Grupa ortogonalna to podgrupa grupy euklidesowej czyli grupy izometrii przestrzeni która zawiera wyłącznie izometrie zachowujące początek. Podgrupa grupy zawiera z kolei zaś tylko te izometrie zachowujące początek, które dodatkowo nie zmieniają orientacji przestrzeni – jest to grupa symetrii (trójwymiarowej) sfery i wszystkich obiektów o symetrii sferycznej względem środka tej sfery.

    Symetria (gr. συμμετρια, od συμ, podobny oraz μετρια, miara) – właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego (można mówić np. o symetrii równań), polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie nie będące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego. Brak takiej właściwości nazywany jest asymetrią. W zależności od klasy dopuszczalnych przekształceń wyróżnia się rozmaite rodzaje symetrii. Tym samym pojęciem określa się nie tylko obiekty, ale też same przekształcenia.Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).

    Iloczyn wektorowy jest jednym z prostszych nawiasów Liego, tzn. dwuargumentowych działań spełniających aksjomaty wieloliniowości, antysymetryczności i tożsamość Jacobiego; przestrzenie liniowe wyposażone w nawiasy Liego nazywa się algebrami Liego, które bada dział matematyki nazywany teorią Liego. Innym przykładem algebry Liego na jest algebra Heisenberga, w której nawias Liego opisany jest za pomocą zależności oraz

    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.

    Przedstawione wyżej własności opisują iloczyn wektorowy jako nieparzyste (antysymetryczne) przekształcenie dwuliniowe, które jako działanie nie jest ani łączne, ani przemienne. Przestrzeń liniowa wyposażona w iloczyn wektorowy tworzy więc nieprzemienną, niełączną algebrę nad ciałem, która jest algebrą Liego rzeczywistej grupy ortogonalnej w trzech wymiarach, SO(3), z iloczynem wektorowym pełniącym rolę nawiasu Liego – pominięcie struktury afinicznej oznacza wybór podalgebry w której zachowywany jest początek (brak przesunięć), z kolei ustalenie orientacji (brak odbić) oznacza dalsze zawężenie do podalgebry związanych odpowiednio z podgrupami grupy izometrii oraz Ograniczenie to jest równoważne z wymaganiem, by endomorfizmy tej przestrzeni zachowywały iloczyn skalarny.

    Objętość – miara przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm = 0,001 m³).Przekształcenie wieloliniowe – w algebrze liniowej funkcja określona na iloczynie kartezjańskim przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi.

    Dla danego elementu algebry Liego działanie dołączone elementu na definiuje się jako endomorfizm (liniowy) dany wzorem

    Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.Reguła prawej dłoni jest konwencją określania względnych zwrotów pewnych wektorów w przestrzeni. Istnieją dwie ściśle związane ze sobą reguły prawej dłoni.

    dla dowolnego z przestrzeni Endomorfizmy przestrzeni można utożsamiać z macierzami stopnia 3, przy czym zawężenie działania do odpowiada zawężeniu klasy macierzy do macierzy antysymetrycznych. Tłumaczy to istnienie wzajemnie jednoznacznego odwzorowania między mnożeniem wektorowym przez ustalony wektor a zbiorem macierzy antysymetrycznych stopnia 3 opisanych w sekcji reprezentacja macierzowa.

    William Rowan Hamilton (ur. 4 sierpnia 1805 w Dublinie, zm. 2 września 1865) – matematyk, astronom i fizyk irlandzki. Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

    Kwaterniony i oktoniony[ | edytuj kod]

     Osobne artykuły: kwaternionyoktoniony.

    Iloczyn wektorowy można opisać za pomocą kwaternionów. Wektory jednostkowe odpowiadają obrotom o 180° względem odpowiednich osi, tzn. obrotom reprezentowanym przez kwaterniony czyste (tzn. z zerową częścią skalarną) o normach jednostkowych.

    Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo – osiem), liczby Cayleya – rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Zostały równolegle odkryte przez dwóch matematyków: Johna T. Gravesa w roku 1843 i Arthura Cayleya w roku 1845.Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

    W ten sposób zależności między w iloczynie skalarnym zgadzają się z multiplikatywnymi zależnościami między kwaternionami Ogólniej, niech wektorowi postaci odpowiada kwaternion wtedy iloczyn wektorowy odpowiada wzięciu części nierzeczywistej iloczynu kwaternionów; część rzeczywista to ujemny iloczyn skalarny dwóch wektorów. Utożsamiając kwaterniony czyste z można myśleć o iloczynie wektorowym jak o połowie komutatora dwóch kwaternionów, co opisano również dalej.

    Wektor normalny jest to wektor prostopadły do płaszczyzny, lub w wypadku innych powierzchni prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w danym punkcie. Pojęcie to używane jest w matematyce, fizyce, biologii molekularnej, grafice 3D.Działanie antyprzemienne to takie działanie dwuargumentowe ♢ {displaystyle diamondsuit } , którego wynik zmienia się na przeciwny po zmianie kolejności argumentów:

    Konstrukcję iloczynu przeprowadzoną z użyciem orientacji i struktury metrycznej (poprzez niejawne wykorzystanie funkcji trygonometrycznych bądź iloczynu skalarnego, zob. sekcja definicja) dla trzech wymiarów można powtórzyć dla wymiarów tak, by biorąc iloczyn wektorów, uzyskać wektor prostopadły do nich wszystkich. Jeśli jednak iloczyn ma być nietrywialnym iloczynem dwuargumentowym dającym w wyniku wektory, to można ją wykonać wyłącznie w trzech i siedmiu wymiarach. Wynika to z faktu, iż jedynymi unormowanymi algebrami z dzieleniem są te o wymiarach 1, 2, 4 oraz 8, o czym mówi twierdzenie Hurwitza. Iloczyn wektorów siedmiowymiarowych jest tym samym związany z oktonionami w podobny sposób do tego, jak iloczyn wektorów trójwymiarowych jest związany z kwaternionami.

    Przekształcenie dwuliniowe – funkcja z iloczynu kartezjańskiego ustalonych przestrzeni liniowych w pewną przestrzeń liniową, liniowe względem obu współrzędnych.Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).


    Podstrony: [1] [2] 3 [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Josiah Willard Gibbs (ur. 11 lutego 1839, zm. 28 kwietnia 1903) – amerykański fizyk teoretyk, profesor Uniwersytetu Yale w New Haven. Wniósł duży wkład do termodynamiki chemicznej. Jako fizyk i matematyk współtworzył analizę wektorową. Był pierwszym doktorantem w zakresie inżynierii na Uniwersytecie Yale. W latach 1876-1878 Gibbs napisał i opublikował serię prac, które wydane w formie monografii noszą tytuł "O Równowadze Heterogenicznych Substancji". Uważa się, że dzieło to jest jednym z największych naukowych osiągnieć XIX wieku i stanowi fundament powstającej wówczas nowej dziedziny - chemii fizycznej. Gibbs jest również uważany za jednego z ojców mechaniki statystycznej. W 1902 Uniwersytet Yale opublikował jego klasyczną książkę "Mechanika Statystyczna" (Gibbs zresztą wprowadził tę nazwę). W 1901 otrzymał prestiżową nagrodę londyńskiego Towarzystwa Królewskiego (tzw. "Copley Medal").
    Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.
    Pseudowektor (wektor osiowy) – wielkość fizyczna, która przy ciągłych transformacjach układu odniesienia (takich jak translacja lub obrót) przekształca się jak wektor, natomiast przy odbiciu zwierciadlanym i symetrii środkowej transformuje się odmiennie (np. zmienia zwrot wektora).
    Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych; intuicyjnie: przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.
    Komutator – w matematyce wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.
    Grupa symetrii (figury geometrycznej F {displaystyle {mathfrak {F}}} w przestrzeni euklidesowej) - grupa wszystkich izometrii przekształcających daną figurę na samą siebie z działaniem składania przekształceń. Mimo że elementy tej grupy nie muszą być symetriami (dla figur ograniczonych może to być obrót, a dla figur nieograniczonych - przesunięcie równoległe lub symetria z poślizgiem, nazywane są one mimo to symetriami figury F {displaystyle {mathfrak {F}}} . Sens tej nazwy można wyjaśnić następująco: im więcej jest symetrii figury, tym bardziej jest ona symetryczna (inaczej regularna) w naiwnym sensie tego słowa.
    Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.079 sek.