• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Iloczyn wektorowy



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

    Iloczyn wektorowydziałanie dwuargumentowe przyporządkowujące parze wektorów 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej pewien wektor tej przestrzeni.

    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

    Niech i będą wektorami 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej z ustaloną bazą uporządkowaną

    Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

    Iloczyn wektorowy wektorów i określa się następująco:

    Mnemotechnika, mnemonika (gr. mneme - pamięć) - ogólna nazwa sposobów ułatwiających zapamiętanie, przechowywanie i przypominanie sobie informacji.Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
  • jeżeli wektory i liniowo zależne, to
  • jeżeli wektory i są liniowo niezależne, to gdzie jest prostopadły zarówno do i tzn. jest wektorem normalnym do płaszczyzny wyznaczonej przez i długość wektora jest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektory i układ wektorów jest zorientowany zgodnie z bazą
  • Wynik działania w sposób istotny zależy od doboru bazy przestrzeni. W przypadku, gdy baza trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej nie jest sprecyzowana, przyjmuje się za bazę kanoniczną złożoną z wektorów

    Macierz przekształcenia liniowego – w algebrze liniowej macierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwoma przestrzeniami współrzędnych.Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

    Historia[ | edytuj kod]

    W 1843 roku William Rowan Hamilton opisał kwaterniony, za pomocą których współcześnie niekiedy opisuje się iloczyn wektorowy. Niezależnie, w tym samym okresie, tj. w roku 1844, Hermann Günther Grassmann zdefiniował tzw. „iloczyn geometryczny” bez odwoływania się jawnie do operacji „mnożenia” wektorów.

    Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

    Grassman, zainspirowany pracami Hamiltona, opublikował drugą wersję swojego traktatu, która okazała się znacznie przystępniejsza; również Hamilton wyraził się pochlebnie po zapoznaniu się z nią. W dalszej kolejności James Clerk Maxwell użył teorii kwaternionów w fizyce, zaś William Kingdon Clifford pod wpływem prac Grassmanna i Hamiltona, z wyraźnym wskazaniem na pierwszego z nich, sformalizował dziedzinę nazywaną dziś analizą wektorową. Opierając się na powstałej teorii, w tym na pracach Clifforda i Maxwella, Josiah Willard Gibbs wydał w 1881 roku Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics. Choć fizycy szybko przyjęli formalizm Gibbsa, to do matematyki znalazł on drogę znacznie później i dopiero po kilku modyfikacjach; o początkowej niechęci matematyków mogą świadczyć słowa Petera Guthriego Taita z jego przedmowy do trzeciego wydania swojego traktatu o kwaternionach, w której nazywa on nowy formalizm Gibbsa „pewnego rodzaju hermafrodytycznym potworem zestawionym z notacji Hamiltona i Grassmanna”.

    Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

    Znak a orientacja[ | edytuj kod]

     Osobne artykuły: bazaorientacja.
    Znajdowanie zwrotu iloczynu wektorowego za pomocą reguły prawej dłoni

    W dowolnej przestrzeni kartezjańskiej można wyróżnić dwa rodzaje baz uporządkowanych: zgodnych z bazą standardową i z nią niezgodnych. Baza uporządkowana przestrzeni kartezjańskiej jest zorientowana dodatnio, jeżeli ma tę samą orientację co baza kanoniczna, tzn. wyznacznik macierzy przejścia od tej bazy do bazy kanonicznej jest dodatni. O bazach, które nie są zorientowane dodatnio, mówi się, że są zorientowane ujemnie.

    Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

    W ten sposób w przestrzeni jednowymiarowej można wybrać jeden wektor, który będzie tworzył bazę zorientowaną dodatnio lub ujemnie; w przestrzeni dwuwymiarowej dowolny niezerowy wektor można uzupełnić do bazy dodatnio lub ujemnie zorientowanej, podobnie ma się rzecz dla pary (liniowo niezależnych) wektorów uzupełnianej o wektor w przestrzeni trójwymiarowej – można to uczynić na dwa sposoby, uzyskując układ wektorów zgodny z bazą standardową lub do niej przeciwny.

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Macierz antysymetryczna – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa A = [aij] jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

    Iloczyn wektorowy, tak jak iloczyn skalarny, zależy od metryki przestrzeni euklidesowej, ale w przeciwieństwie do niego zależy również od wyboru orientacji lub „skrętności” tej przestrzeni. Wybór bazy standardowej w powyższej definicji oznacza ustalenie dodatniej (prawoskrętnej) orientacji przestrzeni, która do wyznaczania zwrotu iloczynu wektorowego wymaga użycia reguły prawej dłoni (reguły śruby prawoskrętnej); w przestrzeni o orientacji ujemnej (lewoskrętnej) należy korzystać z reguły lewej dłoni (reguły śruby lewoskrętnej).

    Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.Hermann Günther Grassmann (ur. 15 kwietnia 1809 w Szczecinie, zm. 26 września 1877 w Szczecinie) – niemiecki polihistor, znany w swoich czasach jako językoznawca, obecnie ceniony jako matematyk. Był także fizykiem, humanistą, pedagogiem i wydawcą.

    Ustalenie orientacji może sprawiać problemy przy zmianie układu (np. odbicie prawoskrętnego układu współrzędnych w lewoskrętny), gdyż zwrot powinien być zachowany – trudność tę można rozwiązać, przyjmując, że w ogólnym przypadku iloczyn wektorowy nie jest (prawdziwym) wektorem, lecz pseudowektorem (zob. uogólnienia).

    Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Warto wiedzieć że... beta

    Symetria (gr. συμμετρια, od συμ, podobny oraz μετρια, miara) – właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego (można mówić np. o symetrii równań), polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie nie będące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego. Brak takiej właściwości nazywany jest asymetrią. W zależności od klasy dopuszczalnych przekształceń wyróżnia się rozmaite rodzaje symetrii. Tym samym pojęciem określa się nie tylko obiekty, ale też same przekształcenia.
    Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).
    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
    Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.
    Objętość – miara przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm = 0,001 m³).
    Przekształcenie wieloliniowe – w algebrze liniowej funkcja określona na iloczynie kartezjańskim przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi.
    Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.051 sek.