• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Hipoteza Goldbacha

    Przeczytaj także...
    Hipoteza Riemanna to sformułowana w 1859 roku hipoteza dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą ½. Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki – w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Clay Mathematics Institute ufundował nagrodę w wysokości miliona dolarów za dowód lub obalenie hipotezy Riemanna. Hipoteza Riemanna była 8. problemem z listy problemów Hilberta.Czynnik pierwszy danej liczby naturalnej złożonej – to dowolna liczba pierwsza, która dzieli daną. Na przykład jednym z czynników pierwszych liczby 20 jest 5.
    Christian Goldbach (ur. 18 marca 1690, zm. 20 listopada 1764) był pruskim matematykiem. Znany jest z nazwanej jego imieniem hipotezy Goldbacha.

    Hipoteza Goldbacha jest problemem teorii liczb, liczącym sobie ponad 250 lat i ciągle nierozstrzygniętym. Znajduje się (wraz z hipotezą Riemanna) na liście problemów Hilberta.

    Sformułowanie problemu[]

    O tym, że każda liczba parzysta składa się z jednej, dwóch lub trzech liczb pierwszych, wspomniał już Kartezjusz. W 1742 roku w liście do Leonharda Eulera, Christian Goldbach przedstawił hipotezę, że

    Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 w Sztokholmie) – francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.Hipoteza (gr. hypóthesis – przypuszczenie) – osąd, który podlega weryfikacji lub falsyfikacji. Zdanie, które stwierdza spodziewaną relację między jakimiś zjawiskami, propozycja twierdzenia naukowego, które zakłada możliwą lub oczekiwaną w danym kontekście sytuacyjnym naturę związku.
    każda nieparzysta liczba naturalna większa niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie).

    Goldbach uznawał 1 za liczbę pierwszą; konwencja ta nie jest obecnie stosowana. Przy tym ograniczeniu hipotezę można przeformułować, przyjmując jej prawdziwość dla liczb naturalnych większych niż 5.

    Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.Słaba hipoteza Goldbacha to przypuszczenie w teorii liczb, które mówi, że każda liczba naturalna nieparzysta i większa od 7 jest sumą trzech nieparzystych liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

    Euler po otrzymaniu listu stwierdził, że sformułowanie hipotezy Goldbacha można uprościć i przedstawić ją w następujący sposób: każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

    Powyższą hipotezę, do dzisiaj nazywaną "hipotezą Goldbacha", sformułował w rezultacie Euler, jednak nazwa nie została zmieniona.

    Próby rozwiązania[]

    Dzięki użyciu komputerów udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 · 10 (przez przedstawienie każdej z tych liczb w postaci sumy dwóch liczb pierwszych). Co więcej, większość współczesnych matematyków uważa, iż jest ona prawdziwa, ponieważ ze względu na stosunkowo gęsty rozkład liczb pierwszych wydaje się, że większe liczby parzyste coraz łatwiej jest przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

    Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.

    Pomimo licznych prób oraz wysokich nagród finansowych ufundowanych za jej udowodnienie lub obalenie, hipoteza Goldbacha pozostaje do dnia dzisiejszego nierozstrzygnięta. Do chwili obecnej udowodniono jedynie, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma co najwyżej sześciu liczb pierwszych, a także, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma liczby pierwszej oraz liczby, która ma co najwyżej dwa czynniki pierwsze (Chen 1966). Wykazano, że zbiór liczb parzystych nie spełniających hipotezy Goldbacha ma gęstość 0 (tj. wraz ze wzrostem n odsetek liczb parzystych mniejszych od n, które nie spełniają hipotezy Goldbacha, dąży do 0).

    Harald Andrés Helfgott Seier (ur. 25 listopada 1977 w Limie) – peruwiański matematyk, obecnie zamieszkały we Francji. Jego głównym obszarem badawczym jest teoria liczb, ale zajmował się również teorią grup i geometrią diofantyczną. Na początku roku 2013 opublikował dwa artykuły, w których przedstawił dowód słabej hipotezy Goldbacha.Chen Jingrun (ur. 22 maja 1933, zm. 19 marca 1996) - chiński matematyk którego dziedziną badań była teoria liczb. Największym jego osiągnięciem było tzw. twierdzenie Chena stanowiące słabszą wersję słynnej hipotezy Goldbacha. Według powyższej hipotezy każdą liczbę naturalną parzystą przedstawić można jako sumę dwóch liczb pierwszych. Jest to przypuszczenie do dnia dzisiejszego nie udowodnione. Twierdzenie Chena różni się jedynie tym że drugi składnik sumy może być liczbą półpierwszą. Twierdzenie Chena zostało udowodnione w roku 1966 i nie jest hipotezą. Istnieje także pojęcie liczby pierwszej Chena która ma postać p+2 gdzie p jest dowolną liczbą pierwszą, p+2 natomiast może być liczbą pierwszą bądź półpierwszą.

    Słaba hipoteza Goldbacha głosi, że każdą liczbę nieparzystą większą od 7 można wyrazić jako sumę trzech nieparzystych liczb pierwszych. Wiadomo, że ta hipoteza jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych większych od około 10 (Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze 2002). Na podstawie swojej pracy z maja 2012, rok później peruwiański matematyk H. A. Helfgott w jednej z prac stwierdził, że udowodnił słabą hipotezę Goldbacha dla liczb nieparzystych mniejszych od 10 , a w drugiej, że dla liczb nieparzystych większych od tej granicy. Kolejne potwierdzające prace opublikował w grudniu 2013 i styczniu 2015. Wszystkie prace ukazały się w arXiv. Za dowód słabej hipotezy Goldbacha Helfgott dostał matematyczną nagrodę Humboldt Professorship 2015.

    Problemy Hilberta to lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku podczas referatu pokazującego stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku.Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

    Przypisy


    Linki zewnętrzne[]

  • Przedruk listu Goldbacha do Eulera z dnia 7 czerwca 1742, w którym po raz pierwszy formułuje on hipotezę
  • Dowód twierdzenia Goldbacha zaproponowany przez Agostino Prastaro



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama