Przykładowe harmoniki sferyczne dla l = 0 … 3 {\displaystyle l=0\dots 3} oraz m = − l … l . {\displaystyle m=-l\dots l.} Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.

Części rzeczywiste harmonik sferycznych Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell }^{m}} dla ℓ = 0 , … , 4 {\displaystyle \ell =0,\dots ,4} (od góry do dołu) i m = 0 , … , ℓ {\displaystyle m=0,\dots ,\ell } (z lewej do prawej).

Harmoniki sferyczne (harmoniki kuliste, funkcje kuliste) – funkcje zmiennych rzeczywistych θ , ϕ {\displaystyle \theta ,\phi } będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace’a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych:

[ 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + 1 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 + λ ] f ( θ , ϕ ) = 0 , {\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \right]f(\theta ,\phi )=0,}

gdzie:

θ ∈ ( 0 , π ) , {\displaystyle \theta \in (0,\pi ),}

ϕ ∈ ( 0 , 2 π ) , {\displaystyle \phi \in (0,2\pi ),}

λ {\displaystyle \lambda }

przy czym wartość współrzędnej radialnej r {\displaystyle r} współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace’a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr λ {\displaystyle \lambda } musi przyjmować wartości dyskretne takie że λ = l ( l + 1 ) , {\displaystyle \lambda =l(l+1),} gdzie l = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle l=0,1,2,\dots }

Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy λ {\displaystyle \lambda } jest stałą separacji tej metody.

Harmoniki sferyczne[ | edytuj kod]

Jeżeli parametr λ {\displaystyle \lambda } przyjmuje dyskretne wartości, λ = l ( l + 1 ) , {\displaystyle \lambda =l(l+1),} gdzie l = 0 , 1 , 2 , … , {\displaystyle l=0,1,2,\dots ,} to równanie Laplace’a ma rozwiązania nieosobliwe tradycyjnie oznaczane symbolami Y l m ( θ , ϕ ) , {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),} przy czym indeks m {\displaystyle m} przyjmuje wartości całkowite oraz

(1) dla m ≥ 0 : {\displaystyle m\geq 0{:}} Y l m ( θ , ϕ ) = ( − 1 ) m ⋅ C l m ⋅ e i m ϕ ⋅ P l m ( cos ⁡ θ ) , {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}\cdot C_{l}^{m}\cdot e^{im\phi }\cdot P_{l}^{m}(\cos \theta ),}

gdzie:

l = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle l=0,1,2,\dots }

m = 0 , 1 , … , l {\displaystyle m=0,1,\dots ,l}

l , {\displaystyle l,}

P l m {\displaystyle P_{l}^{m}}

i {\displaystyle i}

C l m = [ ( 2 l + 1 ) ( l − | m | ) ! 4 π ( l + | m | ) ! ] 1 / 2 {\displaystyle C_{l}^{m}=\left[{\frac {(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi (l+|m|)!}}\right]^{1/2}}

(2) dla m ≤ 0 : {\displaystyle m\leq 0{:}}

Y l m ( θ , ϕ ) = ( − 1 ) m ⋅ Y l ∗ ( − m ) ( θ , ϕ ) , {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}\cdot Y_{l}^{*(-m)}(\theta ,\phi ),}

gdzie: l = 0 , 1 , 2 , … , {\displaystyle l=0,1,2,\dots ,} m = 0 , − 1 , … , − l {\displaystyle m=0,-1,\dots ,-l} – liczby nie mniejsze niż − l , {\displaystyle -l,} Y l ∗ ( − m ) ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{l}^{*(-m)}(\theta ,\phi )} – sprzężenie zespolone funkcji Y l − m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{l}^{-m}(\theta ,\phi )} zdefiniowanej w punkcie (1).

Funkcje Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} nazywa się tradycyjnie harmonikami sferycznymi (lub harmonikami kulistymi, funkcjami kulistymi).

Dla danej liczby l {\displaystyle l} jest w sumie 2 l + 1 {\displaystyle 2l+1} liniowo niezależnych rozwiązań postaci Y l m ( θ , ϕ ) , {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),} gdzie m ∈ ( − l , − l + 1 , … , l ) . {\displaystyle m\in (-l,-l+1,\dots ,l).}

Podstrony: 1 [2] [3] [4]