• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Hamiltonian

    Przeczytaj także...
    Współrzędne uogólnione – jest to układ współrzędnych, używany w mechanice klasycznej i mechanice kwantowej do przedstawienia innego układu współrzędnych, w uproszczony sposób.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.
    Operator Hamiltona (hamiltonian, operator energii) – w mechanice kwantowej odpowiednik funkcji Hamiltona zwanej hamiltonianem. Jest to operator działający nad przestrzenią funkcji falowych stanów układu fizycznego (lub nad przestrzenią Hilberta wektorów stanu). Wartością własną operatora Hamiltona jest energia cząstki opisywanej daną funkcją własną, natomiast wartością średnią operatora Hamiltona jest energia cząstki w danym stanie kwantowym. Matematycznie, operator Hamiltona jest obserwablą, a więc jest operatorem samosprzężonym.

    Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny.

    Wojciech Królikowski (ur. 16 lipca 1926 w Warszawie) – polski fizyk teoretyk (specjalność: teoria cząstek elementarnych i kwantowa teoria pola), profesor emerytowany Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego, członek rzeczywisty Polskiej Akademii Nauk (od 1980). W 1952 otrzymał stopień doktora (promotorem jego pracy doktorskiej był profesor Wojciech Rubinowicz), a doktora habilitowanego - w 1957.Prędkość kątowa w fizyce – wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.
    gdzie oznaczają współrzędne uogólnione, pędy uogólnione, liczbę stopni swobody, a czas.

    Wykorzystując hamiltonian można zapisać m.in. równania Hamiltona i równanie Hamiltona-Jacobiego.

    Lagranżjan (L, inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania S charakteryzującego właściwości mechaniczne układu fizycznego.Pęd w mechanice – wektorowa wielkość fizyczna opisująca mechanikę, a więc ruch i oddziaływania obiektu fizycznego. Pęd mogą mieć wszystkie formy materii, np. ciała o niezerowej masie spoczynkowej, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.

    W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

    Sformułowanie lagranżowskie[]

    Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange'a

    gdzie:

    Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).Równania Hamiltona - w mechanice teoretycznej układ równań opisujących zmianę parametrów układu opisywanego za pomocą funkcji Hamiltona (pędów i położeń cząstek). Jest to układ 2s równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Dla hamiltonianu postaci:
  • – współrzędna uogólniona,
  • – prędkość uogólniona,
  • – czas.
  • Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako

    Wojciech Sylwester Piotr Rubinowicz (ur. 22 lutego 1889 w Sadagórze koło Czerniowiec, zm. 13 października 1974 w Warszawie) – polski fizyk teoretyk.Stopień swobody - w fizyce minimalna liczba niezależnych zmiennych opisujących jednoznacznie stan (modelu) układu fizycznego, w termodynamice liczba niezależnych zmiennych stanu, które można zmieniać nie powodując zmiany stanu (rodzaju i liczby faz).

    W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom.

    Całka pierwsza - funkcja przyjmująca stałą wartość na trajektoriach rozwiązań równania różniczkowego (lub układu równań różniczkowych).

    We współrzędnych walcowych pęd uogólniony odpowiadający prędkości kątowej jest momentem pędu cząstki.

    W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

    Hamiltonian można teraz znaleźć z funkcji Lagrange'a za pomocą tzw. transformacji Legendre'a

    przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych w funkcji Lagrange'a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

    Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

    Zobacz też[]

  • operator Hamiltona
  • równanie Hamiltona-Jacobiego
  • Bibliografia[]

  • W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  • L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa 2011.



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama