• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Grupa przemienna



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

    Grupa przemienna a. abelowagrupa z działaniem przemiennym.

    Określenie „abelowa” pochodzi od nazwiska Nielsa Abela (1802–1829), który podał warunki rozwiązywalności równań wielomianowych w postaci równań nazywanych jego nazwiskiem (za Jordanem i Kroneckerem); w późniejszych pracach innych autorów, operujących innymi, nowocześniejszymi narzędziami, okazało się, że wspomniane warunki były równoważne przemienności odpowiedniej grupy przekształceń pierwiastków wielomianu (tzw. grupy Galois, od nazwiska prekursora teorii grup, Évariste’a Galois, 1811–1832); jako pierwszy nazwy „grupa abelowa” na określenie grup przemiennych użył Weber.

    Algebra Boole’a – algebra ogólna stosowana w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, filozofa i logika George’a Boole’a. Teoria algebr Boole’a jest działem matematyki na pograniczu teorii częściowego porządku, algebry, logiki matematycznej i topologii.Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).

    Definicja[ | edytuj kod]

    Grupę nazywa się przemienną albo abelową, gdy działanie w niej określone jest przemienne, tj. dla dowolnych zachodzi

    Dla grup przemiennych zwyczajowo stosuje się zapis addytywny, w tym zapisie aksjomat przemienności ma postać

    Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.Macierz trójkątna to macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero. Należy zauważyć, że kwadratowa macierz schodkowa jest zawsze macierzą trójkątną.

    Grupę, która nie jest przemienna, nazywa się nieprzemienną lub nieabelową.

    Przykłady[ | edytuj kod]

  • Każda grupa cykliczna jest abelowa, ponieważ dla zachodzi Dlatego przemienne są liczby całkowite z dodawaniem, podobnie jak liczby całkowite modulo n (tzw. addytywna grupa klas reszt).
  • Każdy pierścień jest z definicji grupą abelową ze względu na działanie dodawania. W pierścieniu przemiennym elementy odwracalnemultiplikatywną grupą abelową. W szczególności grupa addytywna liczb rzeczywistych (tzn. liczby rzeczywiste z dodawaniem) jest grupą abelową, podobnie multiplikatywna (tzn. niezerowe liczby rzeczywiste z mnożeniem) jest abelowa.
  • Grupa symetryczna dla jest przemienna, co nie zachodzi już dla
  • Grupa addytywna macierzy ustalonego wymiaru nad danym ciałem jest przemienna; jednakże macierze, nawet odwracalne, z mnożeniem nie są grupą abelową, ponieważ mnożenie macierzy nie jest w ogólności przemienne.
  • Grupa czwórkowa Kleina będąca najmniejszą niecykliczną grupą abelową.
  • Zbiór formuł zdaniowych T danego języka pierwszego rzędu nazywamy teorią pierwszego rzędu (lub systemem dedukcyjnym) wtw T spełnia następujący warunek:Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Warto wiedzieć że... beta

    Skończenie generowana grupa przemienna – w algebrze abstrakcyjnej grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.
    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
    Grupa Galois – grupa związana z określonym rodzajem rozszerzenia ciała. Badanie rozszerzeń ciał (i wielomianów je produkujących) za pomocą grup Galois nazywa się teorią Galois, której nazwa pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który pierwszy zastosował wspomnianą metodę.
    Saharon Szelach (hebr. שהרן שלח, en. Saharon Shelah) (ur. 3 lipca 1945 w Jerozolimie) – izraelski matematyk, laureat wielu nagród (w tym Nagrody Wolfa z matematyki w 2001 roku), profesor na Uniwersytecie Hebrajskim w Jerozolimie oraz Uniwersytecie Rutgersa w Stanach Zjednoczonych.
    Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.
    Leopold Kronecker (ur. 7 grudnia 1823 w Legnicy, zm. 29 grudnia 1891 w Berlinie) – niemiecki matematyk i logik. Brat Hugona Kroneckera.
    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.043 sek.