• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Grupa - matematyka



    Podstrony: [1] [2] [3] 4 [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Zbiory rozłączne – dwa zbiory, których część wspólna jest zbiorem pustym. Inaczej mówiąc, zbiory nie mające wspólnego elementu.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Podobne struktury[]

    Niech będzie dowolnym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym Istnieje szereg podobnych struktur mających osobne nazwy, które spełniają aksjomaty podobne do aksjomatów grupy; struktura jest:

    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Grupa diedralna a. dwuścianu – w teorii grup, dziale algebry, grupa przekształceń, mianowicie izometrii płaszczyznowych, wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną); zarazem jest to grupa izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.
  • grupoidem bez dodatkowych założeń,
  • półgrupą, gdy działanie jest łączne,
  • monoidem, gdy działanie półgrupy ma element neutralny,
  • quasi-grupą, gdy dla każdego elementu istnieje element do niego odwrotny względem
  • pętlą (lupą), gdy działanie w quasi-grupie ma element neutralny.
  • grupą przemienną (abelową), gdy działanie w grupie jest przemienne.
  • Zobacz też[]

  • pierścień, ciało
  • teoria Galois (grupa Galois)
  • algebra Liego (grupa Liego)
  • grupa topologiczna
  • Uwagi

    1. Grupa to monoid, w którym każdy element ma element odwrotny; zob. Podobne struktury.
    2. Sformułowanie „dobrze określone” oznacza, że działanie jest funkcyjne, tzn. dowolnym dwóm elementom przypisuje jednoznacznie trzeci element. Mogłoby się wydawać, że wymaganie to jest oczywiste, jednak możliwe jest podanie nie budzącego początkowo zastrzeżeń przykładu, w którym przypisywany element zależy nie od samych elementów, ale od sposobu ich identyfikacji („nazw”); zasadniczo sytuacja ta pojawia się zwykle w wyniku utożsamiania ze sobą elementów (zob. relacja równoważności, grupa ilorazowa, warstwa – Przykłady).
    3. Przyjęcie takiej umowy byłoby błędem, gdyby działanie nie było łączne. Przykładowo dzielenie nie jest działaniem łącznym na poza przypadkiem (tutaj ); wyrażenie jest niejednoznaczne.
    4. De facto najmniejszymi grupami w sensie liczby elementów są grupy jednoelementowe (zob. Przykłady).
    5. Definicja nie mówi zatem, że istnieje tylko jeden element będący prawostronnym elementem neutralnym (choć faktycznie tak jest, zob. dalej). Co więcej w definicji nie wspomina się o lewostronnych elementach neutralnych, ich istnieniu, czy związkach między nimi. Podobnie definicja nie wyklucza istnienia wielu prawostronnych elementów neutralnych o tej własności, przy czym część z nich może ją mieć, a część nie. Ponadto część (lub wszystkie) elementy mogą mieć więcej niż jedną odwrotność względem części (lub wszystkich) prawostronnych elementów neutralnych.
    6. Lemat
      Z definicji grupy wynika, że:
      1. jeśli dla zachodzi to (element neutralny jest jedynym elementem idempotentnym); 2. jest jednoznacznie wyznaczonym prawostronnym elementem neutralnym w 3. prawostronny element odwrotny elementu z jest również lewostronnym elementem odwrotnym tego samego elementu; 4. jest lewostronnym elementem neutralnym w 5. jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem neutralnym w 6. każdy element ma jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny w 7. każdy element ma jednoznacznie wyznaczony lewostronny element odwrotny w 8. jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny dowolnego elementu jest równy jednoznacznie wyznaczonemu lewostronnemu elementowi odwrotnemu elementu Dowód 1. Niech dla zachodzi niech oznacza prawostronny element odwrotny (istnieje z aksjomatów), tj. Wówczas skąd (łączność), a więc (gdyż ), co daje ( jest prawostronnym elementem neutralnym). 2. Warunek oznacza, że jeśli jest prawostronnym elementem neutralnym, tzn. dla wszystkich to Podstawiając w szczególności za otrzymuje się co oznacza z punktu 1. 3. Innymi słowy: jeżeli to Niech zatem wtedy element jest równy (dwukrotnie łączność), a z założenia jest on równy czyli dla zachodzi a więc z punktu 1. wynika, że tzn. 4. Należy udowodnić, że dla dowolnego niech zaś będzie jego prawostronnym elementem odwrotnym. Wówczas skąd (punkt 3.), a stąd czyli dlatego i wreszcie co oznacza, że jest również lewostronnym elementem neutralnym. 5. Niech dla wszystkich czyli będzie lewostronnym elementem neutralnym, wtedy W szczególności podstawiając za element otrzymuje się co z punktu 1. daje 6. Wiadomo, że każdy element ma co najmniej jeden prawostronny element odwrotny, niech będzie to tzn. Należy wykazać, że jeżeli to (gdzie ). Niech więc oraz Z punktu 3. jest skąd czyli a więc to jest i wreszcie (punkt 4.). 7. i 8. Niech a oznacza jego jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny. Z punktu 3. wiadomo, że jest także lewostronnym elementem odwrotnym do tj. Należy udowodnić, że jeśli oraz to Niech zatem oraz wówczas skąd a więc czyli skąd
    7. Przy zastąpieniu warunków Element neutralny oraz Odwracalność warunkami Element neutralny* oraz Odwracalność* należy sprawdzić własności: 1. istnieje spełniające dla każdego 2. wspomniany spełnia też dla każdego 3. jest jedynym elementem w o powyższych dwóch własnościach; 4. dla dowolnego istnieje spełniający 5. a ponadto 6. przy czym jest jedynym elementem dla którego Stosując przedstawioną definicję wystarczy sprawdzić punkty 1. oraz 4.; punkty 2., 3., 5., 6. wynikają z 1. oraz 4., co znacząco ułatwia przekonanie się o tym, czy dany zbiór z działaniem tworzy grupę.
    8. Niech będą dwoma różnymi prawostronnymi elementami neutralnymi w strukturze algebraicznej (grupoidzie, zob. Podobne struktury) Zakładając, że struktura ta ma (co najmniej jeden) lewostronny element neutralny popada się w sprzeczność: z ich definicji jest wbrew założeniu, że są różne. Stąd struktura algebraiczna z więcej niż jednym prawostronnym elementem neutralnym nie może mieć lewostronnego elementu neutralnego.
    9. Niech oznacza strukturę algebraiczną (grupoid, zob. Podobne struktury) z działaniem danym wzorem dla wszystkich (działanie odpowiada rzutowi lewostronnemu dla pary uporządkowanej ). Działanie jest wewnętrzne wprost z definicji: bez względu na wybór działanie jest też łączne, ponieważ z jego definicji dla dowolnych zachodzi Z samej definicji działania wynika także, że każdy element jest prawostronnym elementem neutralnym. W ten sposób spełnione są trzy pierwsze aksjomaty grupy; ponadto skoro dla dowolnego jest a jest elementem neutralnym, to spełniony jest też warunek istnienia lewostronnego elementu odwrotnego. Z istnienia więcej niż jednego prawostronnego elementu neutralnego wynika jednak brak lewostronnych elementów neutralnych, co przeczy ustaleniom lematu, zatem nie może być grupą.
    10. Odpowiadających oraz w standardowej definicji; w szczególności oraz
    11. Do zdefiniowania grupy wystarczy jedynie działanie ; otóż , oraz Ponadto grupę można wtedy zdefiniować za pomocą jednego aksjomatu: dla dowolnych zachodzi
    12. Nazwa „abelowy” pochodzi od nazwiska Nielsa Abela (1802–1829), który podał warunki rozwiązywalności równań wielomianowych (zob. dalej) w postaci równań nazywanych jego nazwiskiem (za Jordanem i Kroneckerem); w późniejszych pracach innych autorów, operujących innymi, nowocześniejszymi narzędziami, okazało się, że wspomniane warunki były równoważne przemienności odpowiedniej grupy przekształceń pierwiastków wielomianu (tzw. grupy Galois, od nazwiska prekursora teorii grup, Évariste’a Galois, 1811–1832); jako pierwszy nazwy „grupa abelowa” na określenie grup przemiennych użył Weber.
    13. Tabliczki działania (tablice Cayleya) działań przemiennych są symetryczne względem przekątnej głównej (łączącej komórki w „lewym górnym” i „prawym dolnym” rogu).
    14. Teoria pierwszego rzędu grup przemiennych jest rozstrzygalna (co wynika wprost z rozstrzygalności arytmetyki Presburgera), czego nie można powiedzieć o ogólnej teorii grup. Przykładowo pojęcie podgrupy normalnej (zob. Pojęcia) nie odgrywa większej roli w teorii grup przemiennych, ponieważ wszystkie podgrupy są normalne, a w związku z tym różnorodne iloczyny grup stają się zwykłym iloczynem prostym. Dzięki przemienności możliwe jest sklasyfikowanie skończonych grup przemiennych, a nawet skończenie generowanych grup przemiennych (zob. dalej; rozstrzygalna jest również teoria pierwszego rzędu skończenie generowanych grup przemiennych z działaniem sumy prostej, ze względu na które ich zbiór tworzy monoid przemienny). Mimo tych sukcesów próby sklasyfikowania beztorsyjnych grup przemiennych skończonej rangi są daleko niezadowalające: obok wspomnianych grup skończenie generowanych satysfakcjonujący opis istnieje tylko dla grup o randze 1 (zob. postępy); podobnie istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi (pojęcie grupy torsyjnej jest jednym z powodów niemożności sformalizowania teorii grup jako teorii pierwszego rzędu: wymagałoby to użycia zabronionej w logice pierwszego rzędu nieskończenie długiej alternatywy; z drugiej strony klasa grup torsyjnych nie jest Δ-elementarna); badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane niż nad przeliczalnymi grupami torsyjnymi (zob. Pojęcia).
    15. Przykładowo zbiór liczb rzeczywistych wyposażony jest w wiele struktur, m.in. porządkową, topologiczną, geometryczną, algebraiczną; tę bogatą strukturę oznacza się zwykle symbolem W związku z tym mówi się o grupie addytywnej liczb rzeczywistych oznaczanej często po prostu i grupie multiplikatywnej niezerowych (odwracalnych) liczb rzeczywistych (zob. Przykłady, por. Motywacja).
    16. Jednoznaczność: Istnieje co najwyżej jeden dla którego Niech wtedy czyli a więc co daje na mocy lematu.
      Istnienie: O istnieniu co najmniej jednego można się przekonać kładąc Rzeczywiście,
      Drugi przypadek dowodzi się analogicznie jak pierwszy.
    17. Istnienie rozwiązań równania liniowego (z jedną niewiadomą) ma też interpretację w tabliczce działania (tablicy Cayleya): każdy wiersz/kolumna tablicy działania grupowego zawiera dany element grupy wyłącznie jeden raz.
    18. Mnożąc lewostronnie przez otrzymuje się co z łączności jest równoważne czyli a ponieważ jest elementem neutralnym, to ostatecznie Drugą część dowodzi się podobnie.
    19. Własność skracania (bądź równoważnie: odwracalności) dla każdego elementu grupy sprawia, że tabliczka działania w grupie (tablica Cayleya grupy) jest kwadratem łacińskim: każdy element grupy pojawia się w ustalonej kolumnie i ustalonym wierszu jeden i tylko jeden raz.
    20. Z definicji jest zatem jest lewostronnym elementem odwrotnym do co (z lematu) oznacza, że jest elementem odwrotnym do
    21. Własność ta mówi więc, że odwracanie elementów traktowane jako działanie jednoargumentowe jest inwolucją (ponadto jest ono naturalnym antyizomorfizmem grupy i jej grupy przeciwnej, zob. homomorfizm grup).
    22. Ponieważ to jest elementem odwrotnym do
    23. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy (co jest równoważne a więc nie jest ogólną prawidłowością).
    24. Iloczyn trzech elementów w tej właśnie kolejności obliczany jest za pomocą dwóch iloczynów: najpierw następnie przez bądź najpierw następnie przez Dzięki łączności otrzymywane wyniki są równe, dzięki czemu można pisać bez nawiasów.
    25. Iloczyn czterech elementów oblicza się za pomocą trzech kolejnych iloczynów, co można zrobić na pięć różnych sposobów: które są jednak równe dzięki łączności: pierwsze dwa iloczyny są równe, gdyż ostatnie dwa są równe, ponieważ ponadto oraz (wystarczy położyć odpowiednio oraz by uzyskać oraz ). Umożliwia to opuszczenie nawiasów i pisanie na oznaczenie iloczynu elementów w tej właśnie kolejności.
    26. Dokładnie na (zob. silnia)
    27. Poniższe rozumowanie jest prawdziwe nie tylko dla grup, w związku z tym zostanie wyrażone w ogólniejszej postaci.
      Lemat
      Niech będzie niepustym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym oznaczanym przez zestawienie. Iloczyny elementów są niezależne od sposobu wstawiania nawiasów. Oznacza to, co następuje. Niech dla ( są więc podzbiorami zawierającymi iloczyny zredukowanymi do kolejnych mnożeń dwóch elementów z ). Teza: dla każdego i wszystkich zbiór zawiera jeden i tylko jeden element. Dowód Dowód przez indukcję względem Dla jest oczywiste, że tak jak i mają nie mniej, nie więcej jeden element. Dla teza to inna postać warunku łączności; dla teza wynika z rozumowania opisanego w jednej z poprzednich uwag (użyto tam wyłącznie łączności działania!).
      Niech i lemat będzie prawdziwy dla Niech należy udowodnić Z definicji jest oraz gdzie
      Dowiedzione zostanie najpierw przy założeniu Na mocy indukcji zbiór zawiera jeden i tylko jeden element; zatem Stosując hipotezę indukcyjną dla dla elementów również można stwierdzić, że również ma jeden i tylko jeden element; daje to W ten sposób teza jest więc prawdziwa w przypadku Niech teraz bez utraty ogólności można założyć, że Niech dla Stosując hipotezę indukcyjną dla dla elementów otrzymuje się dokładnie jeden element w oznaczany dalej Również z indukcji zastosowanej dla dla elementów istnieje dokładnie jeden element w mianowicie Raz jeszcze z indukcji zastosowanej do dla elementów istnieje dokładnie jeden element w , niech to będzie Z definicji jest czyli Jest Z indukcji zastsowanej do dla elementów zbiór ma jeden i tylko jeden element nazywany dalej Również z indukcji zastosowanej dla dla elementów istnieje dokładnie jeden element w mianowicie Znowu z indukcji zastosowanej do dla elementów zbiór ma dokładnie jeden element, niech to będzie Z definicji jest a więc Stąd oraz daje to co kończy dowód.
    28. Oznaczany również a w zapisie addytywnym
    29. Dowód przez indukcję ze względu na Przypadek jest trywialny, dla jest Niech oraz dla wszystkich należy wykazać, że dla wszystkich Ponieważ z założenia (podstawiono kolejno w miejsca ), to z założenia (kolejno w miejsca ), co kończy dowód.
    30. Jeśli , to wynika z powyższej uwagi. Jeśli to dla każdego jeśli zaś to dla każdego Zatem Należy dowieść tej relacji również dla Zmieniając notację (zastępując przez ) należy dowieść: (i) (ii) (iii) dla wszystkich
      (i) Niech Jeśli to na mocy Mnożąc prawostronnie przez otrzymuje się o ile Biorąc odwrotności po obu stronach tego równania otrzymuje się, w przypadku Zamieniając z otrzymuje się w przypadku Zatem bez względu na to, czy czy
      (ii) Niech Jeśli to na mocy Mnożąc lewostronnie przez otrzymuje się o ile Biorąc odwrotności po obu stronach tego równania otrzymuje się, w przypadku Zamieniając z otrzymuje się w przypadku Zatem bez względu na to, czy czy
      (iii) Niech Jest na mocy Biorąc odwrotności po obu stronach tego równania otrzymuje się, Zamieniając z otrzymuje się dla wszystkich
      Stąd dla wszystkich oraz
    31. Równość zachodzi dla , ponieważ Niech teraz oraz Wówczas Zatem dla wszystkich na mocy indukcji. Równość jest też prawdziwa, gdy ponieważ Należy ją teraz dowieść dla Zmieniwszy nieco notację dowiedzione zostanie dla wszystkich Istotnie, pierwszy znak równości wynika z powyższej definicji z w miejsce drugi z dowiedzionego właśnie faktu dla wszystkich trzeci raz jeszcze z powyższej definicji. W ten sposób dla wszystkich
    32. Jeśli , to wynika z powyższej uwagi. Jeśli to dla każdego jeśli zaś to dla każdego Zatem Należy dowieść tej relacji również dla Zmieniając notację (zastępując przez ) należy dowieść: (i) (ii) (iii) dla wszystkich
      Zapisując z w miejsce i korzystając z poprzedniego punktu otrzymuje się co dowodzi (i). Jest też co dowodzi (ii). Wreszcie jest co dowodzi (iii).
      Stąd dla wszystkich
    33. Dowód przez indukcję względem Jeśli teza zachodzi na podstawie poprzedniego rozumowania. Gdy oraz to co należało wykazać.
    34. Przypadek jest trywialny. Z kolei z założenia, a więc stwierdzenie jest prawdziwe dla Niech i stwierdzenie będzie dowiedzione dla czyli Wówczas Na mocy indukcji jest dla każdego Mnożąc tę zależność z lewej i z prawej strony przez otrzymuje się dla wszystkich skąd jest prawdziwa również dla Zatem dla wszystkich
    35. Biorąc właśnie dowiedzioną tożsamość jako założenie i zastępując w niej odpowiednio przez otrzymuje się dla wszystkich
    36. Dowody tych własności pozostają poprawne, gdy jest zbiorem z działaniem dwuargumentowym (tzn. jest grupoidem, zob. Podobne struktury) dla również w przypadku o ile w istnieje jednoznacznie wyznaczony element neutralny (tzn. dla dowolnego ) i przyjąć, że dla dowolnego (tzn. jest monoidem, zob. Podobne struktury).
    37. Niech dla dowolnego Wówczas czyli dla dowolnych a zatem jest przemienna.
    38. Ponieważ oraz dla wszystkich
    39. Zgodnie z lematem.
    40. Jeśli zawiera wyłącznie element to jedynym możliwym działaniem jest Wewnętrzność: działanie jest wewnętrzne wprost z tożsamości, gdyż Łączność: ponieważ aksjomat przyjmuje postać a dzięki tożsamości jest dla jedynego Element neutralny: z lematu wynika, że musi być prawostronnym elementem neutralnym. Element odwrotny: jest prawostronnym elementem odwrotnym do siebie na podstawie tożsamości.
    41. Grupa euklidesowa jest podgrupą przekształceń przestrzeni euklidesowej; podobnie kolejne wymienione grupy są podgrupami (zob. Pojęcia) poprzednio wymienionych.
    42. Por. kryterium bycia podgrupą: jeżeli to gdyż dla oraz jeśli to gdyż dla
    43. Grupa ilorazowa przez daną podgrupę normalną ma nie więcej elementów niż grupa będąca dzielną; grupa ilorazowa nie jest jednak podzbiorem, czy podgrupą grupy wyjściowej (grupy te mają one różne nośniki i działania).
    44. Grupa jest „wolna” w sensie braku nałożonych na nią, w postaci wspomnianych relacji, więzów; w ilorazie dzielnikiem musi być podgrupa normalna: w związku z tym jego rolę pełni najmniejsza podgrupa normalna zawierająca podgrupę (tzw. domknięcie normalne tej podgrupy) opisującą relacje.
    45. Pochodna, w przeciwieństwie do centrum, jest w istocie zawsze podgrupą całkowicie charakterystyczną (albo w pełni charakterystyczną/niezmienniczą), czyli odwzorowywaną w siebie przy każdym homomorfizmie grupy w siebie (zawężenie charakterystyczności; taką podgrupę można rozumieć jako „stabilną” w grupie). Więcej: pochodne, obok wyrazów dolnego ciągu centralnego, czy podgrup potęgowych (złożonych z elementów będących ustaloną potęgą elementów grupy), są przykładami podgrup o właściwościach uszczegóławiających całkowitą charakterystyczność, tzw. podgrup werbalnych generowanych za pomocą „słów” (skąd pochodzi nazwa), czyli iloczynów elementów ustalonej postaci („dopełnieniem” podgrup werbalnych są podgrupy marginalne, np. centrum); zob. rozmaitość grup.
    46. Ogólnie podgrupy Sylowa to „maksymalne” podgrupy pierwsze (skończone), czyli grupy, których rząd jest najwyższą możliwą potęgą danej liczby pierwszej.
    47. W przypadku przemiennym rozkład jest iloczynem prostym (sumą prostą) podgrupy normalnej i grupy ilorazowej, w przypadku ogólnym – iloczyn półprosty (zob. rozkład i iloczyny grup).
    48. Przykładowo każda grupa skończona, np. w przeciwieństwie do (nieskończonej) grupy liczb całkowitych, ma ciąg kompozycyjny.
    49. Użyte wcześniej stwierdzenie „różne grupy mogą składać się z tych samych elementów składowych” (niejednoznaczność rozwiązania problem rozszerzenia) oznacza, że grupy nie mające tej samej struktury mogą mieć ten sam ciąg kompozycyjny.
    50. Klasyfikacja ta jest wynikiem dziesiątek tysięcy stron w kilkuset publikacjach napisanych przez ponad stu autorów, w większości w latach 1955–2004.
    51. Faktycznie: podgrup Sylowa – skończona grupa przemienna jest ich iloczynem prostym.
    52. Ranga grupy przemiennej jest uogólnieniem rangi grupy przemiennej wolnej będącej obiektem wolnym w kategorii grup przemiennych; jej odpowiednikiem w kategorii wszystkich grup jest grupa wolna — ze względu na różne kategorie pojęcia te mają ze sobą mało wspólnego: pokrywają się tylko w przypadku grupy trywialnej i grupy cyklicznej nieskończonej (odpowiednio ranga 0 i 1, grupy wolny o wyższych rangach nie są przemienne; por. algebra wolna).
    53. Nazywa się je także „półgrupą z jedynką”.
    Język rosyjski (ros. русский язык, russkij jazyk; dawniej też: język wielkoruski) – język należący do grupy języków wschodniosłowiańskich, posługuje się nim jako pierwszym językiem około 145 mln ludzi, ogółem (według różnych źródeł) 250-300 mln. Jest językiem urzędowym w Rosji, Kirgistanie i na Białorusi, natomiast w Kazachstanie jest językiem oficjalnym oraz jest jednym z pięciu języków oficjalnych a jednocześnie jednym z sześciu języków konferencyjnych Organizacji Narodów Zjednoczonych. Posługuje się pismem zwanym grażdanką, graficzną odmianą cyrylicy powstałą na skutek jej upraszczania.Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.


    Podstrony: [1] [2] [3] 4 [5] [6]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
    Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.
    Nauki przyrodnicze (w terminologii angielskiej zwane natural sciences) to mało precyzyjne określenie dziedzin nauki, które zajmują się badaniem różnych aspektów świata materialnego, ożywionego i nieożywionego, zazwyczaj z zastosowaniem aparatu matematycznego, jak również właściwej sobie metodologii.
    Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).
    Warstwa – w teorii grup podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste, a ich zbiór sumuje się do całej grupy.
    Zbiór formuł zdaniowych T danego języka pierwszego rzędu nazywamy teorią pierwszego rzędu (lub systemem dedukcyjnym) wtw T spełnia następujący warunek:
    Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.631 sek.