• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Grupa - matematyka



    Podstrony: [1] [2] 3 [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Zbiory rozłączne – dwa zbiory, których część wspólna jest zbiorem pustym. Inaczej mówiąc, zbiory nie mające wspólnego elementu.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Właściwości[]

    Niech będzie grupą i Wówczas:

    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Grupa diedralna a. dwuścianu – w teorii grup, dziale algebry, grupa przekształceń, mianowicie izometrii płaszczyznowych, wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną); zarazem jest to grupa izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.
  • istnieje jeden i tylko jeden dla którego oraz jeden i tylko jeden dla którego ;
  • obowiązują prawa skracania: jeżeli to (skracanie lewostronne) oraz: jeżeli to (skracanie prawostronne);
  • zachodzi oraz .
  • W definicji grupy określa się iloczyn dwóch elementów; wcześniej wprowadzony został jednoznaczny iloczyn trzech elementów; podobnie można wprowadzić iloczyn czterech elementów. W celu uproszczenia notacji w podobny sposób wprowadza się ogólny iloczyn elementów grupy () definiowany poprzez -krotny iloczyn dwóch elementów; nawiasy można wstawić na wiele sposobów, jednak dzięki łączności wszystkie one dają ten sam wynik: równy Jeśli () są wszystkie równe to pisze się w szczególności a przy tym Tę obserwację można wyrazić więc w postaci (dla i ); ponadto ().

    Język rosyjski (ros. русский язык, russkij jazyk; dawniej też: język wielkoruski) – język należący do grupy języków wschodniosłowiańskich, posługuje się nim jako pierwszym językiem około 145 mln ludzi, ogółem (według różnych źródeł) 250-300 mln. Jest językiem urzędowym w Rosji, Kirgistanie i na Białorusi, natomiast w Kazachstanie jest językiem oficjalnym oraz jest jednym z pięciu języków oficjalnych a jednocześnie jednym z sześciu języków konferencyjnych Organizacji Narodów Zjednoczonych. Posługuje się pismem zwanym grażdanką, graficzną odmianą cyrylicy powstałą na skutek jej upraszczania.Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.

    Własności te rozszerza się na wykładniki całkowite; przyjmuje się, że (element neutralny) oraz (element odwrotny do ) dla oraz Ze względu na to, dla wszystkich oraz :

    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.
  • zachodzi równość ,
  • prawdą jest ,
  • obowiązuje tożsamość .
  • Dodatkowo dla zachodzi ; obserwacja ta dowodzi też Jeżeli są elementami, dla których to , a stąd dla wszystkich . Jeśli dla dowolnego to grupa jest przemienna.

    Nauki przyrodnicze (w terminologii angielskiej zwane natural sciences) to mało precyzyjne określenie dziedzin nauki, które zajmują się badaniem różnych aspektów świata materialnego, ożywionego i nieożywionego, zazwyczaj z zastosowaniem aparatu matematycznego, jak również właściwej sobie metodologii.Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

    W przypadku grup addytywnych zamiast pisze się dla i definiuje oraz dla Określa to dla oraz Poprzednie obserwacje zapisuje się wtedy odpowiednio: , oraz ponadto ( w ostatniej tożsamości istotne jest założenie przemienności grupy).

    Warstwa – w teorii grup podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste, a ich zbiór sumuje się do całej grupy.Zbiór formuł zdaniowych T danego języka pierwszego rzędu nazywamy teorią pierwszego rzędu (lub systemem dedukcyjnym) wtw T spełnia następujący warunek:

    Przykłady[]

    Najprostszą, a zarazem najmniejszą grupą jest grupa trywialna złożona z jednego elementu. Dalsze przykłady obejmują grupę przekształceń ustalonego zbioru (ostatni przykład w Motywacja); grupę euklidesową, czyli grupę izometrii ustalonej przestrzeni euklidesowej; grupę symetrii danej figury przestrzeni euklidesowej, czyli grupę izometrii własnych tej figury (tzn. izometrii odwzorowujących figurę na siebie); grupę diedralną, tzn. grupę symetrii wybranego wielokąta foremnego (wszystkie z działaniem składania przekształceń). Ze względu na możliwość reprezentacji elementów grupy jako macierzy, ważnym przykładem są różnorodne grupy macierzy (odwracalnych z działaniem ich mnożenia, np. wygodna reprezentacja macierzowa grupy kwaternionów).

    Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.

    Pojęcia[]

    Struktura

    Wśród podanych wyżej przykładów grup niektóre z nich mają nośnik będący zbiorem skończonym, inne – zbiorem nieskończonym. Liczbę elementów grupy a dokładniej jego moc zbioru nazywa się rzędem tej grupy i oznacza symbolem Jeżeli jest skończony, to grupę również nazywa się skończoną, jeśli jest nieskończony, to mówi się, że grupa jest nieskończona. Niekiedy rozróżnia się różne rodzaje nieskończoności, ale często przyjmuje się, że jeśli rząd grupy jest nieskończony, to pisze się gdzie symbol reprezentuje wszystkie typy nieskończoności.

    Parafraza – swobodna przeróbka tekstu lub tłumaczenia, która rozwija lub modyfikuje treść oryginału, zachowując jednak jego zasadniczy sens. Przeciwieństwo metafrazy – literalnego przekazu słowo w słowo. Parafraza jest czytelna tylko wtedy, gdy odwołuje się do dzieła powszechnie znanego.Leopold Kronecker (ur. 7 grudnia 1823 w Legnicy, zm. 29 grudnia 1891 w Berlinie) – niemiecki matematyk i logik. Brat Hugona Kroneckera.

    Grupa jako zbiór (z określonym na nim działaniem dwuargumentowym spełniającym pewne własności) ma podzbiory; spośród wszystkich podzbiorów bardziej interesujące są te podzbiory, które odzwierciedlają strukturę algebraiczną grupy, gdyż pomagają zrozumieć jej budowę. Wyróżnione miejsce zajmują pośród nich te, które same są grupami (ze względu na to samo działanie): nazywa się je podgrupami danej grupy. Wśród innych podzbiorów grupy istotne miejsce zajmują warstwy względem określonej podgrupy, które stanowią rozbicie nośnika na rozłączne podzbiory; liczbę warstw względem wybranej podgrupy nazywa się indeksem tej podgrupy w grupie (podobnie jak w przypadku rzędu można rozróżniać rodzaje nieskończoności, jednak częstokroć się tego nie czyni). Ponieważ warstwy danej grupy względem jej ustalonej podgrupy są równoliczne, to rząd grupy jest równy iloczynowi rzędu podgrupy oraz indeksu podgrupy w grupie; w szczególności jeśli grupa jest skończona, to rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy — ta ważna obserwacja nazywana jest twierdzeniem Lagrange’a.

    Rząd – w teorii grup pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.Fizyka teoretyczna – sposób uprawiania fizyki polegający na matematycznym opisie praw przyrody, tworzeniu i rozwijaniu teorii, z których wnioski mogą być sprawdzone doświadczalnie. Przykładem jest fizyka matematyczna opisująca zjawiska i teorie fizyczne korzystając z rozwiniętej aksjomatyki matematycznej i obiektów zdefiniowanych w podobny sposób, jak np. rozmaitości.

    Dla grupy oraz zbiór wszystkich potęg całkowitych elementu jest niepusty, a ponadto tworzy podgrupę w — nazywa się go podgrupą cykliczną grupy generowaną przez element Gdy to nazywa się grupą cykliczną, a element nazywa się generatorem tej grupy. Rząd tej podgrupy nazywa się rzędem elementu i oznacza (jak wyżej, zwykło się przyjmować, że wartość ta jest liczbą naturalną albo nieskończonością). Jeżeli jest skończona, to każdy element ma skończony rząd, a dokładnie na mocy twierdzenia Lagrange’a; w grupach nieskończonych mogą istnieć tak elementy rzędu skończonego, jak i nieskończonego. Definicję generowania podgrupy przez element rozszerza się na zbiory elementów: jeżeli to nazywa się podgrupą generowaną przez i składa się ze wszystkich skończonych iloczynów elementów w oraz ich odwrotności (przyjmuje się, że jest trywialna; ponadto a oznacza się ); jeżeli oraz to nazywa się zbiorem generatorów grupy a o grupie mówi się, że jest generowana przez jeśli grupa ma skończony zbiór generatorów, to nazywa się ją skończenie generowaną.

    Rozstrzygalność (decydowalność) problemu matematycznego to następująca jego właściwość: istnieje algorytm, który oblicza odpowiedź na dowolne pytanie stawiane przez problem.Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0 ∘   {displaystyle 0^{circ } } . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.
    Przekształcenia

    Zbiór warstw względem podgrupy szczególnego rodzaju, tzw. podgrupy normalnej, można wyposażyć w naturalnie określone działanie, względem którego będzie on tworzyć grupę nazywaną grupą ilorazową (danej grupy przez wspomnianą podgrupę normalną). Oprócz tego, że mogą one służyć do tworzenia kolejnych, mniejszych grup (zachowując przy tym własności grupy wyjściowej, np. przemienność, czy cykliczność) umożliwiają one wniknięcie w budowę grupy za pomocą homomorfizmów grup, tzn. przekształceń zachowujących strukturę algebraiczną grup; centralną rolę pełni tu twierdzenie o izomorfizmie (wraz z nieco ogólniejszym twierdzeniem o homomorfizmie). Podgrupy mogą być wkomponowane w grupę we względnie prosty bądź w dość złożony sposób, przedstawiając grupę w postaci iloczynów jej podgrup: ogólnego, półprostego, czy prostego (można je opisać za pomocą tzw. iloczynu kompleksowego). Ogólnie wszystkie wspomniane pojęcia, przede wszystkim grupy ilorazowe i podgrupy, można wykorzystać do opisu grupy za pomocą jej prezentacji: dowolna grupa jest ilorazem grupy wolnej nad zbiorem generatorów danej grupy przez podgrupę relacji spełnianych w tej grupie.

    Grupa prosta – nietrywialna grupa nie mająca właściwych podgrup normalnych, czyli jedynymi grupami normalnymi są w niej grupa trywialna i ona sama.Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.

    Automorfizmy grupy to przekształcenia, które można uważać za uogólnienie izometrii własnych figur geometrycznych (por. Przykłady). Podgrupy normalne to podgrupy, które „wyglądają tak samo niezależnie od sposobu patrzenia”; formalizację tej intuicji umożliwia relacja sprzężenia elementów (elementy sprzężone mają te same własności, np. ten sam rząd) oraz klasa automorfizmów nazywanych wewnętrznymi (wyznaczanych przez sprzężenia). W ogólności podgrupy sprzężone (jedna z drugą) należy rozumieć jako podgrupy, które „wyglądają tak samo zmieniwszy sposób patrzenia” (z tego powodu podgrupy normalne nazywa się czasem „samosprzężonymi”); formalnie dwie podgrupy są sprzężone, gdy jedna jest obrazem drugiej w pewnym automorfizmie wewnętrznym. Automorfizmy grupy tworzą grupę ze względu na składanie przekształceń, a automorfizmy wewnętrzne grupy tworzą podgrupę (normalną) we wspomnianej grupie automorfizmów.

    Podział, rozbicie, partycja zbioru – w matematyce rodzina niepustych, rozłącznych podzbiorów danego zbioru dająca w sumie cały zbiór.Matematyka stosowana - gałąź matematyki zajmująca się przede wszystkim technikami i ich stosowaniem w innych dziedzinach. Interakcja między zastosowaniami matematyki a rozwojem matematyki czystej powoduje, iż obszar matematyki stosowanej nie jest precyzyjnie zdefiniowany. Zalicza się do niej działania rozwijające aparat matematyczny na potrzeby innych nauk, w szczególności medycyny, biologii, informatyki i techniki. Można wyróżnić w niej działy takie jak:

    Centrum grupy to podgrupa (normalna) elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy jej rozmiar mówi więc o stopniu przemienności grupy; związek między centrum a automorfizmami wewnętrznymi ustala grupa ilorazowa przez która ma tę samą strukturę, co grupa Innym pojęciem służącym określeniu stopnia przemienności, czy też raczej nieprzemienności, grupy jest komutator dwóch elementów; podgrupa generowana przez wszystkie komutatory, nazywana pochodną grupy (lub jej komutantem), jest trywialna, gdy grupa jest przemienna. Podgrupa ta umożliwia wskazanie przemiennych grup ilorazowych: są nimi te grupy ilorazowe, których pochodna zawiera się w podgrupie normalnej będącej dzielnikiem; pozostałe grupy ilorazowe są nieprzemienne. Podgrupa charakterystyczna (będąca przypadkiem szczególnym podgrupy normalnej) to podgrupa, która „wygląda symetrycznie” (strukturę pierwszych zachowują wszystkie automorfizmy grupy, podczas gdy drugich jedynie część z nich — tylko wewnętrzne). Przykładami są m.in. wspomniane centrum, czy pochodna grupy.

    Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.W matematyce, grupa Liego to grupa, która jest zarazem gładką rozmaitością. Można na nią patrzeć jako na zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości i grupy. Przykładem grupy Liego jest grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych.
    Działanie
     Osobny artykuł: działanie grupy na zbiorze.

    W sekcji Przykłady zasygnalizowano istnienie grup funkcji, np. grupy przekształceń danego zbioru grupy izometrii przestrzeni euklidesowej, wyżej wspomniano również o grupie funkcji zachowujących mnożenie w Ogólnie, jeśli jest zbiorem z określoną na nim pewną strukturą (algebraiczną, geometryczną, analityczną, topologiczną, czy inną), odwzorowania określone na które zachowują tę strukturę, tworzą grupę. Działanie grupy na zbiorze pozwala na uchwycenie funkcyjnego charakteru elementów grupy, który mogą one przejawiać; o elementach grupy można myśleć właśnie jako o funkcjach określonych na zbiorze W gruncie rzeczy dowolne działanie grupy na zbiorze można rozumieć jako homomorfizm grupy w grupę (tzw. reprezentacja permutacyjna grupy ). Wykorzystując pojęcie działania grupy na zbiorze można w czytelny sposób uzasadnić twierdzenie Cayleya: grupa ma tę samą strukturę, co pewna podgrupa przekształceń (wzajemnie jednoznacznych) zbioru Wiele informacji o grupie można pozyskać rozważając działanie grupy na zbiorze poprzez sprzężenia (zob. klasa sprzężoności).

    Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.
    Rozkłady

    Proste odwrócenie twierdzenia Lagrange’a jest fałszywe: jeśli jest dzielnikiem rzędu grupy skończonej to nie musi mieć podgrupy rzędu nałożenie dodatkowego warunku na by było potęgą liczby pierwszej (grupy o rzędzie wyrażającym się potęgą liczby pierwszej to tzw. grupy pierwsze) i było względnie pierwsze z sprawia, że teza twierdzenia staje się prawdziwa — jest to pierwsze z trzech twierdzeń Sylowa. Wspomniana podgrupa (pierwsza) rzędu nazywana jest podgrupą Sylowa; drugie twierdzenie Sylowa mówi, że podgrupy Sylowa są sprzężone; trzecie opisuje liczbę możliwych podgrup Sylowa.

    Ranga grupy abelowej – w algebrze, uogólnienie pojęcia rangi grupy abelowej wolnej na dowolne grupy abelowe; można ją postrzegać jako najmniejszą liczbę elementów generujących daną grupę abelową. Ranga grupy abelowej wyznacza rozmiar największej grupy abelowej wolnej zawartej w tej grupie. Jeżeli grupa jest beztorsyjna, to rangę można traktować analogicznie do wymiaru przestrzeni liniowej: jest to w istocie wymiar najmniejszej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych, w której można zanurzyć daną grupę abelową.Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

    Grupy zawierające podgrupy normalne można rozłożyć na iloraz oraz wspomnianą podgrupę normalną. Nietrywialną grupę nazywa się prostą, jeżeli nie ma ona nietrywialnych, właściwych podgrup normalnych – definicja ta przywodzi na myśl liczby pierwsze: podobnie jak liczby pierwsze są „budulcem” liczb całkowitych, tak grupy proste są „budulcem” pewnego rodzaju grup; analogii tej nie należy jednak posuwać zbyt daleko, gdyż różne grupy mogą składać się z tych samych elementów składowych – problem konstrukcji grupy znany jako problem rozszerzenia nadal oczekuje na rozwiązanie. Proste grupy przemienne to dokładnie grupy cykliczne o rzędzie będącym liczbą pierwszą (zob. klasyfikacja skończonych grup przemiennych); innym przykładem są grupy alternujące (grupa permutacji parzystych z działaniem ich składania) stopnia piątego i wyższych.

    Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.Działania arytmetyczne – zwyczajowa nazwa czterech spośród działań algebraicznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.

    Jeżeli jest podgrupą w to skończony ciąg podgrup w (zawierający oraz ) nazywa się ciągiem (podnormalnym lub subnormalnym) od do gdy każda podgrupa ciągu jest podgrupą normalną kolejnej. Elementy ciągu nazywa się jego wyrazami, a grupy ilorazowe kolejnych wyrazów – jego ilorazami (lub faktorami); ciąg od podgrupy trywialnej do nazywa się krótko ciągiem Jeśli każdy wyraz ciągu jest normalny/charakterystyczny w to cały ciąg nazywa się normalnym/charakterystycznym; gdy ciąg nie zawiera powtórzeń (zawieranie właściwe podgrup), to ciąg nazywa się właściwym. Ciąg (2) od do nazywa się zagęszczeniem ciągu (1) od do jeżeli każdy wyraz (1) jest również wyrazem (2); zagęszczenie ciągu (1) można więc uzyskać poprzez wstawienie dodatkowych grup – niekoniecznie różnych od wyrazów ciągu (1) – między kolejne wyrazy ciągu (1). Gdy jednak (2) jest zagęszczeniem (1) i co najmniej jeden wyraz (2) nie był wyrazem (1), to (2) nazywa się zagęszczeniem właściwym (1). Ciąg nazywa się ciągiem kompozycyjnym, jeśli jest ciągiem właściwym i nie ma zagęszczenia właściwego (ilorazy ciągu kompozycyjnego to ilorazy kompozycyjne); ciąg kompozycyjny grupy można scharakteryzować jako ciąg w którym wszystkie ilorazy są proste. Dwa ciągi grupy są równoważne, gdy mają tę samą liczbę wyrazów i ilorazy pierwszego ciągu mają, w pewnym porządku, tę samą strukturę co ilorazy drugiego ciągu (a więc niekoniecznie odpowiadające sobie wyrazy ciągów). Twierdzenie Jordana–Höldera mówi, że dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne (o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny); w istocie prawdziwe jest dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera, które zapewnia, że dowolne dwa ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia (wniosek: każdy ciąg właściwy grupy ma zagęszczenie będące ciągiem kompozycyjnym). Przytoczone wyniki są elementem szerszej klasyfikacji skończonych grup prostych.

    Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.Permutacja – wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru na siebie. Najczęściej termin ten oznacza funkcję na zbiorach skończonych.

    Ciąg od do nazywa się abelowym, gdy wszystkie ilorazy są abelowe (przemienne). Grupę nazywa się rozwiązalną, jeśli ma ciąg abelowy. Każda grupa przemienna jest rozwiązalna, choć istnieją rozwiązalne grupy nieprzemienne; ponadto podgrupy i grupy ilorazowe grup rozwiązalnych również są rozwiązalne, z drugiej strony jeśli rozwiązalna jest podgrupa normalna i iloraz grupy przez nią, to rozwiązalna jest i sama grupa. Przykładami grup nierozwiązalnych są znowu grupy alternujące stopnia piątego i wyższych, rozwiązalne są z kolei skończone grupy pierwsze. Ogólniej: ponieważ rozwiązalne grupy proste to grupy cykliczne rzędu będącego liczbą pierwszą, to skończone grupy rozwiązalne to grupy, w których każdy iloraz kompozycyjny ma rząd wyrażający się liczbą pierwszą. Wynika stąd, że grupy permutacji stopnia piątego i wyższych również są nierozwiązalne. Obserwacja ta pełni kluczową rolę w dowodzie tego, że równanie wielomianowe stopnia większego niż cztery nie może być rozwiązane za pomocą pierwiastników (tzn. czterech działań arytmetycznych i pierwiastkowania, tj. potęg i pierwiastków o wykładniku/stopniu naturalnym) – jest to tzw. twierdzenie Abela–Ruffiniego.

    Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.

    Zbiór elementów skończonego rzędu grupy przemiennej tworzy podgrupę nazywaną podgrupą torsyjną iloraz przez poza elementem neutralnym zawiera wyłącznie elementy nieskończonego rzędu. Ogólnie dowolną grupę nazywa się torsyjną, o ile tylko zawiera wyłącznie elementy skończonego rzędu; grupę, w której każdy element poza neutralnym ma rząd nieskończony nazywa się beztorsyjną (w ten sposób jedyną grupą jednocześnie torsyjną i beztorsyjną jest grupa trywialna; każda grupa skończona jest torsyjna, choć torsyjna jest również nieskończona grupa ilorazowa przez grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne nazywa się mieszanymi). Twierdzenie klasyfikacyjne są w matematyce bardzo pożądane, lecz niezmiernie rzadkie: nie mniej istnieje wyczerpująca klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych (twierdzenie Frobeniusa–Stickelbergera). Wystarczy więc zbadać dwie klasy grup przemiennych: torsyjne i beztorsyjne, a następnie znaleźć sposób na skonstruowanie z nich grupy przemiennej. Nie obędzie się jednak bez dodatkowych warunków nałożonych na : jeśli przyjąć, że jest skończenie generowana, to jest skończona. Wtedy badanie skończonych grup przemiennych sprowadza się do badania skończonych, przemiennych grup pierwszych oraz beztorsyjnych grup przemiennych — wykorzystuje się do tego pojęcia niezależności, bazy (niezależnego zbioru generującego grupę, o ile nie zawiera on elementu neutralnego) oraz rangi grupy (jednoznacznie wyznaczonej liczby elementów w bazie). Złączenie części torsyjnej i beztorsyjnej przebiega w najprostszy możliwy sposób: poprzez iloczyn prosty — struktura skończenie generowanej grupy przemiennej wyznaczona jest w zupełności przez zbiór liczb całkowitych w jednoznaczny sposób.

    Twierdzenie Cayleya – twierdzenie teorii grup autorstwa Arthura Cayleya mówiące, iż dowolna abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości pewną grupą przekształceń (podgrupą grupy symetrycznej) zbioru, na którym została ona określona. Pozwala ono przełożyć wszystkie wyniki dotyczące grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne.Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.


    Podstrony: [1] [2] 3 [4] [5] [6]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki).
    Klasyfikacja skończonych grup prostych jest olbrzymim twierdzeniem z teorii grup, składającym się z ponad 500 artykułów zawierających w sumie ponad 10 000 stron, napisanych przez ponad 100 autorów. W większości artykuły te powstały pomiędzy 1955 a 1983 rokiem. Twierdzenie to klasyfikuje wszystkie istniejące skończone grupy proste.
    Matematyka czysta - matematyka motywowana innymi celami niż jej praktyczne zastosowanie. Odróżnia się poprzez swój rygoryzm i abstrakcję. Jako odrębna dziedzina nauk matematycznych funkcjonowała od XIX w., czasem określano ją też jako matematykę spekulatywną, i przeciwstawiano koncepcji matematyki tworzonej dla usprawniania innych dziedzin nauki czy techniki, jak nawigacja, astronomia, fizyka itd.
    Homomorfizm grup – przekształcenie zachowujące strukturę grup, tj. homomorfizm grup jako struktur algebraicznych. Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy grup są klasy morfizmami kategorii grup, z tego też względu nazywane są one czasem morfizmami grup.
    Grupa ilorazowa – w teorii grup zbiór warstw danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, tj. szczególny podział grupy (na niepuste podzbiory) uwzględniający jej strukturę, który sam tworzy grupę z naturalnie określonym działaniem pochodzącym od grupy wyjściowej. Z teoriomnogościowego punktu widzenia jest to zbiór ilorazowy, w którym wprowadzono zgodne z działaniem w grupie działanie na klasach relacji równoważności wyznaczającej wspomniany podział.
    Działanie zeroargumentowe (element wyróżniony) – w algebrze pojęcie służące do zapisu stałej jako działania algebraicznego. Ma ono swoje zastosowanie prawie wyłącznie jako element opisu pewnej algebry ogólnej: krotki zawierającej jako pierwszy element swój nośnik (zbiór elementów), a następnie działania.
    Zbiór skończony − zbiór o skończonej liczbie elementów. Nieujemną liczbę naturalną określającą ilość elementów zbioru skończonego nazywa się mocą zbioru. Zbiór skończony ma moc skończoną. Najmniejszym zbiorem skończonym jest zbiór pusty  Ø.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.365 sek.