• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Grupa - matematyka



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Zbiory rozłączne – dwa zbiory, których część wspólna jest zbiorem pustym. Inaczej mówiąc, zbiory nie mające wspólnego elementu.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

    Grupastruktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. Podobne struktury). Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Grupa diedralna a. dwuścianu – w teorii grup, dziale algebry, grupa przekształceń, mianowicie izometrii płaszczyznowych, wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną); zarazem jest to grupa izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

    Motywacja[ | edytuj kod]

    Rys historyczny opisujący motywacje twórców teorii wraz zastosowaniami można znaleźć w artykule dotyczącym teorii grup.

    W zbiorze liczb całkowitych z ich dodawaniem można wyodrębnić następujące własności:

    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).
  • jest działaniem dwuargumentowym określonym na tzn. dla dowolnych jest
  • dla dowolnych zachodzi
  • liczba całkowita spełnia dla wszystkich
  • dla każdej liczby istnieje przeciwna do niej liczba całkowita tzn. taka że
  • Niech oznacza zbiór dodatnich liczb rzeczywistych wraz z działaniem mnożenia, które przejawia własności analogiczne do powyższych:

    Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.Nauki przyrodnicze (w terminologii angielskiej zwane natural sciences) to mało precyzyjne określenie dziedzin nauki, które zajmują się badaniem różnych aspektów świata materialnego, ożywionego i nieożywionego, zazwyczaj z zastosowaniem aparatu matematycznego, jak również właściwej sobie metodologii.
  • jest działaniem dwuargumentowym na tzn. dla dowolnych jest
  • dla dowolnych zachodzi
  • liczba ma własność dla wszystkich
  • dla każdej liczby istnieje odwrotna do niej dodatnia liczba rzeczywista tzn. taka że
  • Rozpatrując zbiór gdzie jest liczbą naturalną, z działaniem dodawania modulo (zob. arytmetyka modularna) okazuje się, że:

    Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).Warstwa – w teorii grup podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste, a ich zbiór sumuje się do całej grupy.
  • jest działaniem dwuargumentowym na tzn. dla dowolnych jest
  • dla dowolnych zachodzi
  • liczba całkowita modulo    spełnia dla wszystkich
  • dla każdej liczby całkowitej modulo    istnieje przeciwna do niej liczba całkowita modulo    tzn. taka że
  • Niech oznacza niepusty zbiór, zaś jest zbiorem wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru na siebie. Rozważając składanie przekształceń z można zauważyć, że:

    Zbiór formuł zdaniowych T danego języka pierwszego rzędu nazywamy teorią pierwszego rzędu (lub systemem dedukcyjnym) wtw T spełnia następujący warunek:Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
  • jest działaniem dwuargumentowym na ponieważ jeśli są wzajemnie jednoznacznymi przekształceniami na siebie, to również;
  • dla dowolnych zachodzi
  • przekształcenie tożsamościowe spełnia dla wszystkich
  • dla każdego istnieje odwrotne do niego przekształcenie tzn. takie że
  • Wszystkie powyższe przykłady opisują grupy; w każdym przypadku dany jest niepusty zbiór, na którym określono działanie dwuargumentowe o szczególnych własnościach – tak niżej zostaną zdefiniowane grupy. Dlaczego bada się struktury, które spełniają powyższe/poniższe cztery własności, nie zaś inne; z jakiego powodu wybrano właśnie tę kombinację własności, a nie tylko ich część bądź jakąś dodatkową? Nie ma powodu, by wykluczać te, czy inne możliwości – w istocie rozpatruje się inne teorie i wiele ze wspomnianych kombinacji własności ma swoje nazwy (zob. Podobne struktury), jednakże są one dużo mniej ważne niż struktury spełniające wyróżnione cztery własności.

    Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.Grupa Galois – grupa związana z określonym rodzajem rozszerzenia ciała. Badanie rozszerzeń ciał (i wielomianów je produkujących) za pomocą grup Galois nazywa się teorią Galois, której nazwa pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który pierwszy zastosował wspomnianą metodę.

    Teoria matematyczna, aby mogła być uznana za ważną, musi być dostatecznie ogólna, a zarazem mieć znaczenie informatywne. Teoria, której postulaty są w wielu przypadkach zbyt ograniczające, okaże się nieistotna w obszarach, w których nie sposób je zapewnić, co ostatecznie przełoży się na ograniczone nią zainteresowanie. Interesujące teorie są ogólne, jednakże ogólność ma cenę: treść. Umożliwiając spełnienie aksjomatów teorii w różnych obszarach i wielu kontekstach, należy zdawać sobie sprawę, że teoria dotyczyć będzie tylko tego, co jest w nich wspólne – może się wtedy okazać, że nie ma takich rzeczy. Istnieje więc niebezpieczeństwo, że teoria będzie się sprowadzać do listy nieciekawych parafraz postulatów pozbawionych głębi. Nakładanie ograniczeń zmniejsza zakres użycia i zainteresowanie teorią, znoszenie ograniczeń prowadzi do pustej teorii. Wyważenie między ogólnością a treścią jest trudnym zagadnieniem, a teoria grup jest jedną z tych, w których udało się osiągnąć równowagę – dzięki temu znajduje ona zastosowanie w matematyce czystej i stosowanej, fizyce teoretycznej oraz innych naukach przyrodniczych (zob. teoria grup). Ponadto pełna jest ona głębokich, interesujących i pięknych wyników. To właśnie wskazuje na to, że wybór czterech własności przedstawionych w definicji można uważać za rozsądny; zastosowania podobnych struktur nie okazały się tak owocne, jak grup.

    Parafraza – swobodna przeróbka tekstu lub tłumaczenia, która rozwija lub modyfikuje treść oryginału, zachowując jednak jego zasadniczy sens. Przeciwieństwo metafrazy – literalnego przekazu słowo w słowo. Parafraza jest czytelna tylko wtedy, gdy odwołuje się do dzieła powszechnie znanego.Leopold Kronecker (ur. 7 grudnia 1823 w Legnicy, zm. 29 grudnia 1891 w Berlinie) – niemiecki matematyk i logik. Brat Hugona Kroneckera.

    Definicja[ | edytuj kod]

    Zbiór z (dobrze) określonym na nim dwuargumentowym działaniem nazywa się grupą, jeżeli ma on następujące własności (spełnia poniższe aksjomaty):

  • Wewnętrzność: dla dowolnych elementów ze zbioru ich wynik również należy do zbioru mówi się wtedy, że zbiór jest zamknięty ze względu na
  • Łączność: dla wszystkich należących do musi zachodzić
  • Element neutralny: istnieje element w zbiorze spełniający dla dowolnego elementu z tego zbioru warunek
  • Odwracalność: dla każdego musi istnieć dla których
  • Grupa to para uporządkowana a więc zbiór nazywany nośnikiem, z działaniem Dlatego grupy oraz są równe, o ile oraz jako funkcje (relacje) na tym zbiorze; na zbiorze mogą istnieć dwa różne działania oraz ze względu na które będzie tworzyć grupę, wtedy oraz są różnymi grupami.

    Rząd – w teorii grup pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.Fizyka teoretyczna – sposób uprawiania fizyki polegający na matematycznym opisie praw przyrody, tworzeniu i rozwijaniu teorii, z których wnioski mogą być sprawdzone doświadczalnie. Przykładem jest fizyka matematyczna opisująca zjawiska i teorie fizyczne korzystając z rozwiniętej aksjomatyki matematycznej i obiektów zdefiniowanych w podobny sposób, jak np. rozmaitości.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]




    Warto wiedzieć że... beta

    Rozstrzygalność (decydowalność) problemu matematycznego to następująca jego właściwość: istnieje algorytm, który oblicza odpowiedź na dowolne pytanie stawiane przez problem.
    Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0 ∘   {displaystyle 0^{circ } } . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.
    Grupa prosta – nietrywialna grupa nie mająca właściwych podgrup normalnych, czyli jedynymi grupami normalnymi są w niej grupa trywialna i ona sama.
    Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.
    Podział, rozbicie, partycja zbioru – w matematyce rodzina niepustych, rozłącznych podzbiorów danego zbioru dająca w sumie cały zbiór.
    Matematyka stosowana - gałąź matematyki zajmująca się przede wszystkim technikami i ich stosowaniem w innych dziedzinach. Interakcja między zastosowaniami matematyki a rozwojem matematyki czystej powoduje, iż obszar matematyki stosowanej nie jest precyzyjnie zdefiniowany. Zalicza się do niej działania rozwijające aparat matematyczny na potrzeby innych nauk, w szczególności medycyny, biologii, informatyki i techniki. Można wyróżnić w niej działy takie jak:
    Otwarty dostęp (OD, ang. Open Access, „OA”) – oznacza wolny, powszechny, trwały i natychmiastowy dostęp dla każdego do cyfrowych form zapisu danych i treści naukowych oraz edukacyjnych.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.137 sek.