• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Granica - teoria kategorii

    Przeczytaj także...
    Koprodukt – pojęcie w teorii kategorii będące uogólnieniem sumy rozłącznej zbiorów i zewnętrznej sumy prostej przestrzeni liniowych. Koprodukt jest konstrukcją dualną do produktu.Diagram – teoriokategoryjny odpowiednik rodziny indeksowanej zbiorów z teorii mnogości; zasadniczą różnicą jest dodatkowa obecność morfizmów obok obiektów. Wykorzystuje się je w definicjach granicy i kogranicy oraz stożków. Szczególnym rodzajem diagramu jest tzw. diagram przemienny pełniący rolę analogiczną do równania w algebrze. Przykładami diagramów, obok wspomnianej rodziny indeksowanej, są m.in. układ prosty i odwrotny.
    Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) − funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

    Granica i kogranica – w teorii kategorii dwie dualne względem siebie konstrukcje będące pewnego rodzaju uogólnieniem pojęć produktu, produktu włóknistego (pull-backu) i ekwalizatora w przypadku granicy oraz pojęć dualnych do wymienionych: koproduktu, koproduktu włóknistego (push-outu), czy koekwalizatora w przypadku kogranicy.

    Produkt – w teorii kategorii pojęcie będące uogólnieniem konstrukcji produktu kartezjańskiego zbiorów, produktu grup, czy produktu przestrzeni topologicznych; jest to „najogólniejszy” obiekt mający morfizm w każdy z obiektów objętych tą konstrukcją (czynników). Konstrukcją dualną do produktu jest koprodukt.Obiekt początkowy (końcowy) – dla ustalonej kategorii K {displaystyle {mathfrak {K}}} obiekt E {displaystyle {mathit {E}};} o tej własności, że dla każdego obiektu A {displaystyle {mathit {A}};} tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm h : E → A {displaystyle h:{mathit {E}} ightarrow {mathit {A}}} (odpowiednio h : A → E {displaystyle h:{mathit {A}} ightarrow {mathit {E}}} ). Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do (jedynego) izomorfizmu. Obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy, nazywany jest obiektem zerowym kategorii K {displaystyle {mathfrak {K}}} .

    Definicje[]

    Diagram prezentujący warunki zgodności i uniwersalności.

    Granice w kategorii definiuje się za pomocą pojęcia diagramu w Granicą diagramu nazywa się dowolny obiekt kategorii wraz z morfizmami dla każdego obiektu kategorii spełniający następujące warunki:

  • zgodność, dla każdego morfizmu w zachodzi równość
  • uniwersalność, dla dowolnego innego obiektu wraz z rodziną morfizmów spełniającego powyższy warunek zgodności istnieje jeden i tylko jeden taki morfizm że dla każdego zachodzi
  • Obiekty wraz z rodziną morfizmów spełniające warunek zgodności nazywa się stożkami nad diagramem Stożki nad ustalonym diagramem w tworzą kategorię, w której morfizmy tej kategorii między pewnymi stożkami spełniają Wynika stąd, że granice diagramów to obiekty końcowe w kategorii stożków, zatem są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

    Kogranicę w kategorii można zdefiniować jako granicę w kategorii przeciwnej bądź wprost: wprowadzając analogicznie pojęcie kostożka diagramu i definiując kogranicę jako obiekt początkowy w kategorii kostożków.

    Bibliografia[]

  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Wyd. 2nd ed.. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.
  • (window.RLQ=window.RLQ||).push(function(){mw.log.warn("Gadget \"edit-summary-warning\" styles loaded twice. Migrate to type=general. See \u003Chttps://phabricator.wikimedia.org/T42284\u003E.");mw.log.warn("Gadget \"wikibugs\" styles loaded twice. Migrate to type=general. See \u003Chttps://phabricator.wikimedia.org/T42284\u003E.");mw.log.warn("Gadget \"ReferenceTooltips\" styles loaded twice. Migrate to type=general. See \u003Chttps://phabricator.wikimedia.org/T42284\u003E.");mw.log.warn("Gadget \"main-page\" styles loaded twice. Migrate to type=general. See \u003Chttps://phabricator.wikimedia.org/T42284\u003E.");});



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama