• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Geometria euklidesowa



    Podstrony: [1] [2] 3 [4]
    Przeczytaj także...
    Elementy (gr. Στοιχεῖα, Stoicheia) – pochodzący z IV wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Inne aksjomatyzacje[]

    W drugiej połowie XIX w. zauważono również, że aksjomaty podane przez Euklidesa nie są wystarczające do udowodnienia prawdziwości lub fałszywości wszystkich zdań, które można wyrazić w języku tej teorii (tzn. system ten nie był zupełny). W 1882 r. niemiecki matematyk Moritz Pasch podał przykład takiego niedającego się udowodnić twierdzenia i włączył je do systemu jako kolejny aksjomat, tzw. aksjomat Pascha, innymi są np. twierdzenie Desargues’a lub twierdzenie Pascala.

    Geometria eliptyczna albo sferyczna (również geometria powierzchni kuli, tj. sfery) – jeden z rodzajów geometrii nieeuklidesowej, szczególny przypadek geometrii Riemanna dla stałej i dodatniej krzywizny.Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.
    Aksjomatyka Hilberta

    Kolejne próby poprawienia systemu aksjomatów geometrii euklidesowej zostały zwieńczone w 1899 r. kompletnym ich zestawem podanym przez Davida Hilberta, który udowodnił jednocześnie niesprzeczność tego systemu. Aksjomatyka Hilberta, licząca pierwotnie 21 aksjomatów, później ograniczona do 20, jest dziś podstawą większości aksjomatycznych ujęć geometrii euklidesowej.

    Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.Geometria syntetyczna - czyli geometria czysta - dział geometrii, w którym nie używa się metod algebraicznych i obliczeniowych do dowodzenia twierdzeń i rozwiązywania problemów. Wybitnymi znawcami geometrii syntetycznej byli między innymi Euklides, Apoloniusz z Pergi, Michel Chasles i Jakob Steiner.
    Aksjomatyka Birkoffa i Tarskiego

    Powstały również inne systemy geometrii euklidesowej, z których najbardziej znane to aksjomatyka Birkhoffa i aksjomatyka Tarskiego. System stworzony przez Alfreda Tarskiego miał na celu wykazanie rozstrzygalności geometrii euklidesowej. Ostatecznie rozstrzygalność tego modelu została udowodniona przez Wandę Szmielew.

    Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Moritz Pasch (ur. 8 listopada 1843 roku we Wrocławiu, zm. 20 września 1930 roku w Bad Homburg w Niemczech) – niemiecki matematyk.

    Podejście współczesne[]

     Osobny artykuł: przestrzeń euklidesowa.

    Pojęcia pierwotne ze swej natury nie są formalnie definiowane w języku danej teorii, są po prostu symbolami, których własności opisują aksjomaty, założenia budujące podwaliny tej teorii matematycznej. Można jednak stworzyć tzw. model tej teorii, to znaczy zdefiniować takie obiekty matematyczne, które podstawione jako pojęcia pierwotne spełniają wszystkie jej aksjomaty (pewniki Euklidesa, czy aksjomaty Hilberta). Aby obiekty te dało się zdefiniować, model musi opierać się na pojęciach spoza modelowanej teorii.

    Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.Twierdzenie Desargues’a – jedno z pierwszych twierdzeń geometrii rzutowej, sformułowane i udowodnione w XVII wieku przez francuskiego matematyka Gerarda Desargues’a. Wraz z twierdzeniem Pascala stanowi przykład twierdzenia, które jest niezależne od oryginalnego układu aksjomatów geometrii podanego przez Euklidesa – oznacza to, że nie da się go udowodnić ani obalić, bez przyjęcia dodatkowych założeń.

    Takim powszechnie dziś przyjmowanym modelem geometrii euklidesowej jest tzw. przestrzeń kartezjańska opierająca się na aparacie analizy matematycznej.

    Przestrzeń kartezjańska jest szczególnie wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż pozwala na sprowadzenie wszelkich twierdzeń geometrycznych do postaci liczbowej, co zwykle upraszcza dowodzenie.

    Podejście, w którym aksjomaty Euklidesa można udowodnić jako twierdzenia, nosi nazwę geometrii analitycznej. W ten sposób w ujęciu geometrii syntetycznej prosta jest pojęciem pierwotnym, w geometrii analitycznej definiuje się ją z kolei jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. W poniższej tabelce porównane są interpretacje pojęć w aksjomatyce przestrzeni euklidesowej i w przestrzeni kartezjańskiej; dla uproszczenia zagadnienie rozpatrywane jest w geometrii płaszczyzny.

    Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.Rozstrzygalność (decydowalność) problemu matematycznego to następująca jego właściwość: istnieje algorytm, który oblicza odpowiedź na dowolne pytanie stawiane przez problem.

    Współcześnie termin „przestrzeń euklidesowa” oznacza zwykle jej model w postaci przestrzeni kartezjańskiej. Należy jednak pamiętać, że istnieją również inne, również bardziej abstrakcyjne przestrzenie o geometrii euklidesowej.

    Podstrony: [1] [2] 3 [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Niesprzeczna teoria logiczna to taka, która nie zawiera sprzeczności. Brak sprzeczności można zdefiniować semantycznie albo syntaktycznie. Definicja semantyczna postuluje, że teoria jest niesprzeczna, jeśli posiada model. Odpowiada to pojęciu niesprzeczności w tradycyjnej logice Arystotelesa, aczkolwiek w dzisiejszej logice matematycznej używa się w zamian określenia spełnialności. Definicja syntaktyczna mówi, że teoria jest niesprzeczna, jeśli nie ma takiej formuły P, że zarówno P jak i jej zaprzeczenie można wyprowadzić z aksjomatów danej teorii za pomocą powiązanego z nią systemu dedukcji.
    Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
    Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.
    Alfred Tarski wł. Alfred Tajtelbaum (ur. 14 stycznia 1901 w Warszawie, zm. 26 października 1983 w Berkeley, Kalifornia, USA) – polski logik pracujący od 1939 r. w Stanach Zjednoczonych. Twórca m.in. teorii modeli i semantycznej definicji prawdy, uważany jest współcześnie za jednego z najwybitniejszych logików wszech czasów.
    Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
    Kąt prosty – kąt płaski przystający do swojego kąta przyległego; w zależności od przyjętej jednostki miara łukowa kąta prostego wynosi odpowiednio: π/2 rad (radian), 90° (stopień), 100 (grad). W polskiej literaturze matematycznej kąt prosty oznacza się kropką, w literaturze krajów anglojęzycznych stosuje się oznaczenie kwadracikiem (zob. rys. obok).
    Przystawanie (kongruencja) – w geometrii relacja równoważności figur zdefiniowana poprzez izometrię rozumianą intuicyjnie jako identyczność kształtu i wielkości figury: dwie figury uważa się za przystające (kongruentne), jeśli istnieje izometria między nimi.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.016 sek.