• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Funkcje trygonometryczne



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Szereg czasowy to realizacja procesu stochastycznego, którego dziedziną jest czas; to ciąg informacji uporządkowanych w czasie, których pomiary wykonywane są z dokładnym krokiem czasowym. Jeżeli krok nie będzie regularny wtedy mamy do czynienia z szeregiem czasowym rozmytym.Niwelacja trygonometryczna – jeden z rodzajów niwelacji. Pomiar różnic wysokości punktów wykonywany na podstawie pomierzonych odległości poziomych oraz kątów pionowych.
    Własności[ | edytuj kod]

    Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej[ | edytuj kod]

    Przebieg zmienności funkcji[ | edytuj kod]

    W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności:

    Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).
    Dziedzina i asymptoty
  • Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
  • Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać gdzie jest liczbą całkowitą.
  • Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci gdzie jest liczbą całkowitą.
  • Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci a cotangens i cosecans w punktach postaci Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.
  • Przeciwdziedzina
  • Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru
  • Ekstrema
  • Maksymalną wartość, w obu przypadkach sinus przyjmuje w punktach a cosinus w punktach gdzie jest całkowita.
  • Minimalną wartość, dla obu funkcji sinus przyjmuje w punktach a cosinus w punktach gdzie jest całkowita.
  • Miejsca zerowe
  • Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci gdzie jest całkowita.
  • Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci gdzie jest całkowita.
  • Parzystość i nieparzystość
  • Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:
  • Okresowość
  • Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba a tangensa i cotangensa :
  • gdzie jest liczbą całkowitą. Ciągłość i różniczkowalność
  • Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).
  • Odwracalność
  • Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych przedziałach funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić funkcje do nich odwrotne.
  • Własności algebraiczne
  • Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.
  • Liczby oraz liczbami algebraicznymi dla dowolnych liczb postaci gdzie jest liczbą wymierną.
  • Wykresy[ | edytuj kod]

    Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą).

    Robotyka – interdyscyplinarna dziedzina wiedzy działająca na styku mechaniki, automatyki, elektroniki, sensoryki, cybernetyki oraz informatyki. Domeną robotyki są również rozważania nad sztuczną inteligencją – w niektórych środowiskach robotyka jest wręcz z nią utożsamiana.Okrąg jednostkowy – okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0),} , układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem S 1 {displaystyle mathrm {S} ^{1}} ; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

    Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.

    Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne szeregowi; iloczyn nieskończenie wielu liczb (rzeczywistych lub zespolonych).
  • Sinusoida: wykres funkcji

  • Cosinusoida: wykres funkcji

  • Tangensoida: wykres funkcji

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Półprosta - figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie punktu prostej, który jest nazywany początkiem półprostej. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej i mówimy o półprostej domkniętej (z początkiem). W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku) .
  • Cotangensoida: wykres funkcji

  • Wykres funkcji secans

  • Wykres funkcji cosecans

    Mnemotechnika, mnemonika (gr. mneme - pamięć) - ogólna nazwa sposobów ułatwiających zapamiętanie, przechowywanie i przypominanie sobie informacji.Chaos deterministyczny - w matematyce i fizyce, własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne.

  • Wartości dla typowych kątów[ | edytuj kod]

    Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°:

    Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka liczba jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65537). W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1°, gdyż a ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na jest identyczny jak warunek konstruowalności -kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

    Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich ( f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:

    Wzory redukcyjne[ | edytuj kod]

    Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału czyli :

    Kompresja danych (ang. data compression) – polega na zmianie sposobu zapisu informacji tak, aby zmniejszyć redundancję i tym samym objętość zbioru. Innymi słowy chodzi o wyrażenie tego samego zestawu informacji, lecz za pomocą mniejszej liczby bitów.Pierścień nilpotentny – w algebrze pierścień o tej własności, że każdy jego element przemnożony przez siebie pewną skończoną liczbę razy daje zero pierścienia. Formalnie, pierścień P nazywany jest nilpotentnym, gdy dla każdego a∈P istnieje liczba naturalna n taka, że a=0.

    Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać bądź w przypadkach oraz funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli:

    Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditcha – w matematyce krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzoremParalaksa – efekt niezgodności różnych obrazów tego samego obiektu obserwowanych z różnych kierunków. W szczególności paralaksa odnosi się do jednoczesnego obserwowania obiektów leżących w różnych odległościach od obserwatora lub urządzenia obserwującego, a objawia się tym, że obiekty te na obu obrazach są oddalone od siebie o odmienną odległość kątową lub też nachodzą na siebie na tych obrazach w odmiennym stopniu.
    Ćwiartki układu współrzędnych

    Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora: W pierwszej ćwiartce są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

    W innych wersjach pierwszy wers brzmi: W pierwszej ćwiartce same plusy lub W pierwszej wszystkie są dodatnie.

    Podstawowe tożsamości trygonometryczne[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Tożsamości trygonometryczne.

    Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

    Astronawigacja – oznaczanie pozycji statku lub samolotu na podstawie pomiarów położenia niektórych ciał niebieskich.Statystyka (niem. Statistik, „badanie faktów i osób publicznych”, z łac. [now.] statisticus, „polityczny, dot. polityki”, od status, „państwo, stan”) – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.
  • jedynka trygonometryczna:
  • definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa):
  • Geometryczny dowód wzoru
  • wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:
  • wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:
  • wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:
  • wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:
  • iloczyn w postaci sumy:
  • wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:
  • (Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

    Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.Diagnostyka obrazowa (obrazowanie medyczne, obrazowanie radiologiczne) – dział diagnostyki medycznej zajmujący się obrazowaniem zmian fizjologicznych oraz patologicznych zachodzących w ciele ludzkim za pomocą różnego rodzaju oddziaływań fizycznych. Znajduje się ona na pograniczu radiologii oraz medycyny nuklearnej.

    Pochodne funkcji trygonometrycznych[ | edytuj kod]

    Zachodzą równości:

    Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

    Nauka ścisła - nauka, w której ściśle i dokładnie opisuje oraz modeluje się zjawiska, a także weryfikuje się hipotezy za pomocą doświadczeń i dowodów matematycznych. Do opracowywania danych doświadczalnych stosowana jest statystyka. Nauki ścisłe to nauki matematyczne i nauki przyrodnicze.Nawigacja – dział wiedzy zajmujący się określaniem bieżącego położenia oraz optymalnej drogi do celu dla ludzi, statków, pojazdów lądowych i innych przemieszczających się obiektów.

    Wzory na -te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane.

    Szereg Fouriera – w matematyce szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów (kompresja jpeg), a nawet w muzyce (kompresja mp3).Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

    Całki funkcji trygonometrycznych[ | edytuj kod]

    Podstawowe całki to:

    gdzie

    Elektrotechnika (inżynieria elektryczna) - dziedzina techniki i nauki, która zajmuje się zagadnieniami związanymi z wytwarzaniem, przetwarzaniem (przekształcaniem), przesyłaniem, rozdziałem, magazynowaniem i użytkowaniem energii elektrycznej.Teoria muzyki – ogólne zasady i zagadnienia związane z muzyką (na ogół poważną) wyrażone w sposób czysto teoretyczny. W skład teorii muzyki wchodzi m.in. notacja muzyczna (zapis muzyczny), elementy dzieła muzycznego - skróty i oznaczenia, praktyka wykonawcza, harmonia, kontrapunkt.


    Każda całka funkcji wymiernej postaci jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie:

    wówczas:

    Funkcje hiperboliczne – funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej będących sumą, różnicą lub ilorazem funkcji eksponencjalnych określone następująco: Paul Du Bois-Reymond (ur. 2 grudnia 1831 w Berlinie, zm. 7 kwietnia 1889 w Fryburgu) – niemiecki matematyk, profesor w Fryburgu, Tybindzie i Berlinie. Zajmował się głównie równaniami cząstkowymi, równaniami całkowymi, rachunkiem wariacyjnym i szeregami Fouriera.

    Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej[ | edytuj kod]

    Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

    Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).Ultrasonografia, USG – nieinwazyjna, atraumatyczna metoda diagnostyczna, pozwalająca na uzyskanie obrazu przekroju badanego obiektu. Metoda ta wykorzystuje zjawisko rozchodzenia się, rozpraszania oraz odbicia fali ultradźwiękowej na granicy ośrodków, przy założeniu stałej prędkości fali w różnych tkankach równej 1540 m/s. W ultrasonografii medycznej wykorzystywane są częstotliwości z zakresu ok. 2-50 MHz. Fala ultradźwiękowa najczęściej generowana jest oraz przetwarzana w impulsy elektryczne przy użyciu zjawiska piezoelektrycznego (opisanego przez braci Curie na przełomie lat 1880-1881). Pierwsze doświadczenia nad wykorzystaniem ultrasonografii w diagnostyce prowadzone były w trakcie i zaraz po II wojnie światowej, a ultrasonografy wprowadzone zostały do szpitali na przełomie lat 60. i 70. XX wieku (jednym z pierwszych klinicznych zastosowań była diagnostyka płodu)

    Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej[ | edytuj kod]

    Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

  • okresowość (w tym okres podstawowy),
  • tożsamości trygonometryczne,
  • miejsca zerowe,
  • punkty nieokreśloności:
  • sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
  • tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci a cotangens – punktów postaci gdzie jest całkowita.
  • Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu urojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od w szczególności:

    Ekonomia – nauka społeczna analizująca oraz opisująca produkcję, dystrybucję oraz konsumpcję dóbr. Słowo „ekonomia” wywodzi się z języka greckiego i tłumaczy się jako oikos, co znaczy dom i nomos, czyli prawo, reguła. Starożytni Grecy stosowali tę definicję do określania efektywnych zasad funkcjonowania gospodarstwa domowego.Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.

    Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

    Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n {displaystyle n} -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli n {displaystyle n} jest liczbą postaci 2 k ⋅ p 1 ⋅ p 2 ⋯ ⋅ p s , {displaystyle 2^{k}cdot p_{1}cdot p_{2}dots cdot p_{s},} gdzie p 1 ,   p 2 ,   … p s ,   {displaystyle p_{1}, p_{2}, dots p_{s}, } są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F 0 = 3 {displaystyle F_{0}=3} , F 1 = 5 {displaystyle F_{1}=5} , F 2 = 17 {displaystyle F_{2}=17} , F 3 = 257 {displaystyle F_{3}=257} , F 4 = 65537 {displaystyle F_{4}=65537} i nie wiadomo, czy jest ich więcej.Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako B k {displaystyle ,{B_{k}}} , gdzie k {displaystyle ,{k}} jest numerem porządkowym liczby, k = 0 , 1 , 2... , {displaystyle k=0,1,2...,} wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: 1 10 + 2 10 + 3 10 + . . . + 1000 10 {displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}} "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

    Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty[ | edytuj kod]

    Argument oblicza się według wzorów:

    gdzie to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

    Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

    Wzór Eulera[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Wzór Eulera.

    W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

    Wynika z niego, iż:

    gdzie:

    Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:Rynek finansowy – miejsce, gdzie dokonuje się transakcji środkami pieniężnymi. Przedmiotem rynku finansowego są walory finansowe występujące w postaci zmaterializowanej lub zdematerializowanej.
  • jest stałą, zwaną podstawą logarytmu naturalnego,
  • jest jednostką urojoną.
  • Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

    Wykresy[ | edytuj kod]

    Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem. Odcienie barw określają argument, a jasność – moduł wyniku

    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Całkowy sinus hiperboliczny - funkcja specjalna zdefinowana jako całka stosunku sinusa hiperbolicznego do jego argumentu, tj. w sposób:
  • Funkcja sinus

  • Funkcja cosinus

  • Funkcja tangens

  • Funkcja cotangens

  • Funkcja secans

  • Funkcja cosecans

  • Kod kolorów

  • Związki z innymi funkcjami[ | edytuj kod]

    Funkcje odwrotne do trygonometrycznych[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Funkcje cyklometryczne.

    Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres.

    Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.Regiomontanus, właśc. Johannes Müller (ur. 6 czerwca 1436 w Unfinden koło Königsbergu w dzisiejszej Bawarii, zm. 6 lipca 1476 w Rzymie) – niemiecki matematyk, astronom i astrolog.

    Harmoniki[ | edytuj kod]

    Sinusoidalny ruch prostego oscylatora
     Osobny artykuł: Harmonika (matematyka).

    Funkcje postaci

    gdzie:

  • amplituda,
  • – prędkość kątowa (pulsacja),
  • – faza początkowa
  • są nazywane harmonikami. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.

    Sinusoida zagęszczona albo warszawska – krzywa na płaszczyźnie stosowana czasem jako przykład w topologii. W zwykłym położeniu definiuje się ją jako zbiór będący sumą wykresu funkcji y = sin ⁡ 1 x , 0 < x ≤ 1 π {displaystyle y=sin { frac {1}{x}},0<xleq { frac {1}{pi }}} i odcinka { ( 0 , y ) : − 1 ≤ y ≤ 1 } {displaystyle {(0,y):-1leq yleq 1}} .Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

    Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu, albo obwód rezonansowy sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii) do równania różniczkowego:

    którego rozwiązaniami są harmoniki.

    Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego (materii) jako jego zdolność do wykonania pracy.

    Funkcje hiperboliczne[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Funkcje hiperboliczne.
    Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

    Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób:

    Jeśli warunek W2 zmienić na:

    Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

    wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh).

    Działania arytmetyczne – zwyczajowa nazwa czterech spośród działań algebraicznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

    Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny i całkowy cosinus hiperboliczny.

    Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych
    Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

    Także definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

    Architektura (gr. αρχιτεκτονική architektonike) – nauka i sztuka projektowania, konstruowania i wykonywania budynków oraz innych budowli przestrzennych.Śledzenie promieni (ang. ray tracing) – technika generowania fotorealistycznych obrazów scen trójwymiarowych. Opiera się na analizowaniu tylko tych promieni światła, które trafiają bezpośrednio do obserwatora. W rekursywnym śledzeniu promieni bada się dodatkowo promienie odbite zwierciadlane oraz załamane.

    należy wziąć hiperbolę o równaniu

    Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny.

    Trygonometria (łac. trigonometria, od trigonum: z gr. τρίγωνον trigōnon, neutr. od τρίγωνος trigōnos, „trójrożny, trójkątny”, od -γωνον -gōnon, od γωνία gōnia, „róg, kąt”; spokr. z γόνυ gónu, „kolano” oraz: łac. -metria, od gr. μετρεῖν metrein, „mierzyć”, od μέτρον metron, „miara, kij/pręt mierniczy”) – dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ badania astronomiczne.Kąt prosty – kąt płaski przystający do swojego kąta przyległego; w zależności od przyjętej jednostki miara łukowa kąta prostego wynosi odpowiednio: π/2 rad (radian), 90° (stopień), 100 (grad). W polskiej literaturze matematycznej kąt prosty oznacza się kropką, w literaturze krajów anglojęzycznych stosuje się oznaczenie kwadracikiem (zob. rys. obok).

    Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji Wzór Eulera.

    Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych:

    Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych:

    Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Inaczej mówiąc jest to funkcja o wartościach rzeczywistych.

    Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone.

    Oś współrzędnych - oś liczbowa wykorzystywana do budowy układu współrzędnych, pozwalająca na jednoznaczne określenie położenia punktu przez określenie jego współrzędnych.Krystalografia (od greckich słów κρύσταλλος krystallos – „lód”, które później zaczęło oznaczać także kryształ górski i inne kryształy, oraz γράφω grapho – „piszę”) – dział nauki zajmujący się opisem, klasyfikacją i badaniem kryształów, krystalitów oraz substancji o strukturze częściowo uporządkowanej. Jej zakres pokrywa się częściowo z mineralogią, fizyką ciała stałego, chemią i materiałoznawstwem.

    Niektóre zastosowania[ | edytuj kod]

    Ze względu na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki i techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre.

    Geometria[ | edytuj kod]

    Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w geometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów trójkąta. Poniżej podano kilka innych zastosowań.

    Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów[ | edytuj kod]

    Oznaczenia
    Geometryczny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają równe pola powierzchni.

    W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości:

    Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.Podstawa logarytmu naturalnego, liczba e, liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,7182818, oznacza się ją literą e.

    Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie Snelliusa:

    ( jest promieniem okręgu opisanego)

    Funkcje Mathieu to funkcje specjalne, odpowiadające stanom własnym równania Schrödingera pojedynczej cząstki umieszczonej w periodycznym potencjale. Przykładem mogą być funkcje Blocha elektronów w jednowymiarowym ciele stałym z periodycznym potencjałem.Stosunek – ilorazowe odniesienie jednej wartości do drugiej. Zapisywany jest często w postaci ułamka lub przy użyciu znaku dzielenia.

    Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie Carnota:

    Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie Regiomontana:

    Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych Q {displaystyle mathbb {Q} } , tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1 , {displaystyle 1,} gdy argument jest liczbą wymierną i wartość 0 , {displaystyle 0,} gdy argument jest liczbą niewymierną.Obwód rezonansowy LC jest wyidealizowanym przypadkiem obwodu elektrycznego RLC, składającym się z cewki (L) i kondensatora (C), bez udziału rezystancji (R). W obwodzie tym zachodzi rezonans prądów (w równoległym) lub napięć (w szeregowym). Rysunek po prawej stronie pokazuje schemat obwodów rezonansowych: szeregowego i równoległego.

    W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze.

    Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.Miejsce zerowe – w matematyce argument funkcji, dla którego przyjmuje ona wartość zerową. Czasem miejsce zerowe nazywa się w skrócie zerem funkcji bądź jej pierwiastkiem.

    Wzory na pole trójkąta[ | edytuj kod]

    Wzory na pole trójkąta często wykorzystują funkcje trygonometryczne:

    lub

    lub

    Współrzędne geograficzne – szerokość i długość geograficzna mierzone w stopniach, minutach i sekundach kątowych. Początkiem układu współrzędnych geograficznych jest przecięcie się południka zerowego (Greenwich) z równikiem.Robert z Chester lub Robertus Castrensis (ur. ?– zm. ?) – angielski skryba-arabista i matematyk z XII wieku. Jest autorem przekładu na język łaciński kilku ważnych dzieł napisanych przez arabskich naukowców z Kalifatu kordobańskiego.

    gdzie:

    Pulsacja (częstość kołowa, częstość kątowa) - wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Pulsacja jest powiązana z częstotliwością (f) i okresem (T) poprzez następującą zależność:Geodezja wyższa – dział geodezji zajmujący się pomiarami i przedstawianiem „dużych obszarów”, dla których powierzchnią odniesienia nie może być płaszczyzna pozioma, a pewna płaszczyzna zastępcza zbliżona do rzeczywistej powierzchni bryły ziemskiej.
  • to boki trójkąta,
  • to miary kątów o wierzchołkach leżących naprzeciw boków odpowiednio i
  • to promień koła opisanego.
  • Iloczyny wektorów[ | edytuj kod]

     Osobne artykuły: Iloczyn skalarnyIloczyn wektorowy.

    W geometrii i algebrze liniowej definiowane są iloczyny wektorów, m.in. iloczyny skalarny i wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanych kierunkach, zwrotach i długościach. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kąta między wektorami:

    Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.Optyka to dział fizyki, zajmujący się badaniem natury światła, prawami opisującymi jego emisję, rozchodzenie się, oddziaływanie z materią oraz pochłanianie przez materię. Optyka wypracowała specyficzne metody pierwotnie przeznaczone do badania światła widzialnego, stosowane obecnie także do badania rozchodzenia się innych zakresów promieniowania elektromagnetycznego - podczerwieni i ultrafioletu - zwane światłem niewidzialnym.
  • iloczyn skalarny,
  • iloczyn wektorowy,
  • gdzie jest ustalonym wektorem jednostkowym prostopadłym tak do jak i do

    Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe[ | edytuj kod]

    Najczęściej w geometrii stosowany jest układ współrzędnych kartezjańskich. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne układy, w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należy układ współrzędnych biegunowych, układ współrzędnych sferycznych (jego zastosowaniem są np. współrzędne geograficzne) i układ współrzędnych walcowych. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

    Meteorologia (gr. metéōron (μετέωρον) - unoszący się w powietrzu, lógos (λόγος)- słowo, wiedza) - nauka zajmująca się badaniem zjawisk fizycznych i procesów zachodzących w atmosferze, szczególnie w jej niższej warstwie - troposferze. Bada, jak te procesy wpływają na przebieg procesów atmosferycznych i stan pogody na danym obszarze.Kąt wewnętrzny wielokąta (kąt wielokąta) – kąt, na którego ramionach leżą dwa sąsiednie boki wielokąta i dla którego istnieje otoczenie wierzchołka takie, że wszystkie punkty kąta zawarte w tym otoczeniu są punktami wielokąta.

    Geometria sferyczna[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Geometria sferyczna.

    Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami geometrii sferycznej i jej zastosowań w astronomii, nawigacji i geodezji, gdzie służą m.in. do rozwiązywania trójkątów sferycznych.

     Zapoznaj się również z: reguła Nepera.

    Analiza matematyczna[ | edytuj kod]

    Szereg Fouriera[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Szereg Fouriera.
    Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych

    Funkcje tworzą dla dowolnego układ ortonormalny. Dzięki temu funkcje okresowe spełniające tzw. warunki Dirichleta mogą być wyrażone w postaci tzw. szeregu Fouriera:

    Kartografia – dziedzina nauki o mapach (w tym o atlasach, globusach, modelach plastycznych – mapach plastycznych itp.), teorii map, metodach ich sporządzania i użytkowania; jak również dziedzina działalności organizacyjnej i usługowej, związanej z opracowywaniem, reprodukcją i rozpowszechnianiem map.Sanskryt (dewanagari: संस्कृतम् saṃskṛtam; sa.msk.rtaa bhaa.saa, od sa.m+k.r: zestawiać, składać; bhaa.saa: język; język uporządkowany, w przeciwieństwie do języków naturalnych prakrytów, tzn. ludowych o nieuporządkowanej gramatyce) – język literacki starożytnych, średniowiecznych i wczesnonowożytnych Indii. Należy do indoaryjskiej gałęzi indoirańskiej grupy rodziny języków indoeuropejskich. Pomimo powszechnego w Europie przekonania, iż jest językiem martwym, jak łacina, zasadniczo nim nie jest, gdyż nie tylko jest jeszcze stale używany w ceremoniach religijnych hinduizmu, ale także istnieją niewielkie grupy osób deklarujące go jako ich jedyny język ojczysty (według spisów ludności z 1999 roku – ok. 3000 osób na 900 mln ludności Indii). Czynione są też próby rewitalizacji tego języka poprzez tworzenie sanskryckich neologizmów na określenie współczesnych terminów, np. technicznych (np. telewizja, sanskr. duuradarshana). Jest też uznawany od 1949 roku za jeden z 13 konstytucyjnych języków Republiki Indii (obecnie 23 – 2008 r.). Dlatego właściwsze jest określenie go jako język wegetujący niż jako martwy.

    Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są harmonicznymi. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, teorii drgań, a nawet teorii muzyki (zob. szereg harmoniczny (muzyka), alikwoty).

    Bogdan Miś (ur. 24 grudnia 1936 w Warszawie) – z wykształcenia matematyk, z zawodu dziennikarz i popularyzator nauki.Akustyka – dział fizyki i techniki obejmujący zjawiska związane z powstawaniem, propagacją i oddziaływaniem fal akustycznych. Ze względu na różnorodność działów akustyka jest obecnie traktowana jako nauka interdyscyplinarna obejmująca oprócz akustyki ogólnej, zajmującej się zagadnieniami podstawowymi, również szereg działów akustyki stosowanej, zajmujących się praktycznym zastosowaniem zjawisk akustycznych.

    Funkcja Weierstrassa[ | edytuj kod]

    Funkcja Weierstrassa
     Osobny artykuł: Funkcja Weierstrassa.

    Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jest funkcja, która jest ciągła, jednak nie jest w żadnym punkcie różniczkowalna:

    gdzie jest pewną liczbą z przedziału natomiast jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

    Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).Oscylator harmoniczny – układ drgający, poddany działaniu sił sprężystych tj. sił proporcjonalnych do przemieszczenia r {displaystyle r} układu od położenia równowagi:

    Funkcja Dirichleta[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Funkcja Dirichleta.

    Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych:

    Teoria liczb[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: Funkcja Möbiusa.

    Choć teoria liczb jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład:

    Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).Kąt skierowany – para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.

    gdzie to tzw. funkcja Möbiusa.

    Kąt (płaski) w geometrii euklidesowej – każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Czyli jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).Warunki Dirichleta – warunki wystarczające aby funkcja okresowa posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka Piotra Gustawa Dirichleta.

    Zastosowania poza matematyką[ | edytuj kod]

    Krzywe Lissajous powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie i w poziomie

    Funkcje trygonometryczne mają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki i techniki, takich jak na przykład:

  • akustyka: np. analiza harmoniczna,
  • architektura, mechanika: bezpośrednie zastosowanie do elementów trójkąta
  • astronomia, nawigacja, kartografia, oceanografia: trygonometria sferyczna stosowana do powierzchni Ziemi
  • astronomia i geodezja: paralaksa pozwala wyznaczać odległości bez przebywania ich, nawet tysięcy lat świetlnych.
  • chemia i krystalografia: obliczanie odległości pomiędzy atomami w krysztale,
  • ekonomia (w szczególności analiza rynków finansowych), probabilistyka, statystyka, meteorologia: np. analiza harmoniczna szeregów czasowych
  • elektryka i elektronika: np. przebiegi sinusoidalne prądu zmiennego
  • fizyka: np. ruch harmoniczny, prawo załamania światła, zob. też sekcję Harmoniki tego artykułu,
  • fonetyka, analiza języka naturalnego: analiza harmoniczna głosek
  • geodezja, inżynieria lądowa: w szczególności niwelacja trygonometryczna,
  • geofizyka, sejsmologia: badanie fal sejsmicznych,
  • grafika komputerowa: np. symulowanie odbicia i załamania światła w ray tracingu
  • kompresja obrazu: np. przy kompresji JPEG
  • kryptologia: w związku z zastosowaniami w teorii liczb,
  • obrazowanie medyczne: tomografia komputerowa i USG wymagają obliczeń trygonometrycznych
  • optyka: prawo załamania światła, polaryzacja fali,
  • robotyka: np. algorytm sterowania sinusoidalnego,
  • teoria chaosu,
  • teoria muzyki: np. alikwoty, szereg harmoniczny.
  • Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.JPEG (wym. dżej-peg lub jot-peg) – metoda kompresji statycznych obrazów rastrowych, przeznaczony głównie do stratnego zapisu obrazów naturalnych (pejzaży, portretów itp.), charakteryzujących się płynnymi przejściami barw oraz brakiem lub małą ilością ostrych krawędzi i drobnych detali.


    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Elektronika – dziedzina techniki i nauki zajmująca się obwodami elektrycznymi zawierającymi, obok elementów elektronicznych biernych, elementy aktywne takie jak lampy próżniowe, tranzystory i diody. W obwodach takich można wzmacniać słabe sygnały dzięki nieliniowym charakterystykom elementów czynnych (i ich możliwościom sterowania przepływem elektronów). Podobnie możliwość pracy urządzeń jako przełączniki pozwala na przetwarzanie sygnałów cyfrowych.
    Algorytm sterowania sinusoidalnego stosowany jest do sterowania układem łańcuchowym (robotem). Pozwala on odpowiedzieć na pytanie: "Jakie sterowanie należy użyć, aby wszystkie współrzędne osiągnęły zadaną wartość".
    Składowa harmoniczna jest pojęciem często używanym w teorii sygnałów. Jest to składowa szeregu Fouriera analizowanego sygnału (poza składową zerową zwaną składową stałą). Składowa harmoniczna jest częścią reprezentacji sygnału w dziedzinie widmowej (częstotliwości). Sygnał okresowy spełniający warunki Dirichleta można przedstawić jako sumę sinusoidalnych przebiegów oraz składowej stałej.
    <|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>
    Willebrord Snell (ur. 1580, zm. 30 października 1626) znany także jako Snellius lub Snel van Royen — holenderski astronom i matematyk. Najbardziej znany ze swojego prawa refrakcji, zwanego też prawem Snella.
    Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z {displaystyle z} na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: arg ⁡ ( z ) {displaystyle arg(z)} .
    Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.443 sek.