To jest dobry artykuł

Funkcje trygonometryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcje trygonometrycznefunkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych, będące przedmiotem badań trygonometrii.

Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Robotyka – interdyscyplinarna dziedzina wiedzy działająca na styku mechaniki, automatyki, elektroniki, sensoryki, cybernetyki oraz informatyki. Domeną robotyki są również rozważania nad sztuczną inteligencją – w niektórych środowiskach robotyka jest wręcz z nią utożsamiana.Okrąg jednostkowy – okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0),} , układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem S 1 {displaystyle mathrm {S} ^{1}} ; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

Spis treści

  • 1 Definicje
  • 1.1 Definicja z elementów trójkąta prostokątnego
  • 1.2 Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw
  • 1.3 Definicja za pomocą szeregu Taylora
  • 1.4 Definicja za pomocą równań funkcyjnych
  • 1.5 Definicja za pomocą równań różniczkowych
  • 1.6 Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych
  • 1.7 Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych
  • 1.8 Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji
  • 2 Własności
  • 2.1 Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
  • 2.1.1 Przebieg zmienności funkcji
  • 2.1.2 Wykresy
  • 2.1.3 Wartości dla typowych kątów
  • 2.1.4 Wzory redukcyjne
  • 2.1.5 Podstawowe tożsamości trygonometryczne
  • 2.1.6 Pochodne funkcji trygonometrycznych
  • 2.1.7 Całki funkcji trygonometrycznych
  • 2.2 Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej
  • 2.2.1 Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej
  • 2.2.2 Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty
  • 2.2.3 Wzór Eulera
  • 2.2.4 Wykresy
  • 2.3 Związki z innymi funkcjami
  • 2.3.1 Funkcje odwrotne do trygonometrycznych
  • 2.3.2 Harmoniki
  • 2.3.3 Funkcje hiperboliczne
  • 3 Niektóre zastosowania
  • 3.1 Geometria
  • 3.1.1 Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów
  • 3.1.2 Wzory na pole trójkąta
  • 3.1.3 Iloczyny wektorów
  • 3.1.4 Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe
  • 3.1.5 Geometria sferyczna
  • 3.2 Analiza matematyczna
  • 3.2.1 Szereg Fouriera
  • 3.2.2 Funkcja Weierstrassa
  • 3.2.3 Funkcja Dirichleta
  • 3.3 Teoria liczb
  • 3.4 Zastosowania poza matematyką
  • 4 Historia
  • 5 Polskie nazwy
  • 6 Oznaczenia funkcji trygonometrycznych
  • 7 Zobacz też
  • 8 Przypisy
  • 9 Bibliografia
  • Definicje[ | edytuj kod]

    Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

    Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne szeregowi; iloczyn nieskończenie wielu liczb (rzeczywistych lub zespolonych).

    Definicja z elementów trójkąta prostokątnego[ | edytuj kod]

    Funkcje trygonometryczne można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

    Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji
  • sinus – oznaczany w Polsce jako – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i długości przeciwprostokątnej
  • cosinus (lub kosinus) – oznaczany w Polsce jako – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta i przeciwprostokątnej
  • tangens – oznaczany w Polsce jako – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta;
  • cotangens (kotangens) – oznaczany w Polsce jako – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta i długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta;
  • secans (sekans) – oznaczany w Polsce jako – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej przyległej do kąta odwrotność cosinusa (nie mylić z funkcją odwrotną );
  • cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce jako – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta odwrotność sinusa (nie mylić z funkcją odwrotną ).
  • W innych krajach stosowane są inne nazwy funkcji trygonometrycznych.

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Mnemotechnika, mnemonika (gr. mneme - pamięć) - ogólna nazwa sposobów ułatwiających zapamiętanie, przechowywanie i przypominanie sobie informacji.

    Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki:

    Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

  • sinus versus:
  • haversin (ang. half of the versine):
  • cosinus versus:
  • exsecans:
  • Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi.

    Chaos deterministyczny - w matematyce i fizyce, własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne.Wahadło sprężynowe – ciało zawieszone na sprężynie, które może w polu grawitacyjnym wykonywać pionowe drgania swobodne.

    Definicja na | edytuj kod]

    Definicja na okręgu jednostkowym

    Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków:

    Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich ( f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:Kompresja danych (ang. data compression) – polega na zmianie sposobu zapisu informacji tak, aby zmniejszyć redundancję i tym samym objętość zbioru. Innymi słowy chodzi o wyrażenie tego samego zestawu informacji, lecz za pomocą mniejszej liczby bitów.

    Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku można przyjąć pole wycinka – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do .

    Pierścień nilpotentny – w algebrze pierścień o tej własności, że każdy jego element przemnożony przez siebie pewną skończoną liczbę razy daje zero pierścienia. Formalnie, pierścień P nazywany jest nilpotentnym, gdy dla każdego a∈P istnieje liczba naturalna n taka, że a=0.Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.

    Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

  • Sinus, czyli połowa długości cięciwy był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.
  • Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek jest styczny do okręgu.
  • Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka odcinanego przez styczną (tangens).
  • Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.
  • Definicja za pomocą szeregu Taylora[ | edytuj kod]

     Osobny artykuł: wzór Taylora.
    Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

    Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

    Funkcja σ (sigma) określona jest dla wszystkich liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników liczby, np.Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditcha – w matematyce krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem

    Zachodzą równości:

    gdzie to liczby Bernoulliego,

    Paralaksa – efekt niezgodności różnych obrazów tego samego obiektu obserwowanych z różnych kierunków. W szczególności paralaksa odnosi się do jednoczesnego obserwowania obiektów leżących w różnych odległościach od obserwatora lub urządzenia obserwującego, a objawia się tym, że obiekty te na obu obrazach są oddalone od siebie o odmienną odległość kątową lub też nachodzą na siebie na tych obrazach w odmiennym stopniu.Astronawigacja – oznaczanie pozycji statku lub samolotu na podstawie pomiarów położenia niektórych ciał niebieskich.

    gdzie to liczby Eulera,

    Statystyka (niem. Statistik, „badanie faktów i osób publicznych”, z łac. [now.] statisticus, „polityczny, dot. polityki”, od status, „państwo, stan”) – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

    Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

    Diagnostyka obrazowa (obrazowanie medyczne, obrazowanie radiologiczne) – dział diagnostyki medycznej zajmujący się obrazowaniem zmian fizjologicznych oraz patologicznych zachodzących w ciele ludzkim za pomocą różnego rodzaju oddziaływań fizycznych. Znajduje się ona na pograniczu radiologii oraz medycyny nuklearnej.Nauka ścisła - nauka, w której ściśle i dokładnie opisuje oraz modeluje się zjawiska, a także weryfikuje się hipotezy za pomocą doświadczeń i dowodów matematycznych. Do opracowywania danych doświadczalnych stosowana jest statystyka. Nauki ścisłe to nauki matematyczne i nauki przyrodnicze.
     Zapoznaj się również z: twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.

    Definicja za pomocą równań funkcyjnych[ | edytuj kod]

    Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych taka, że dla każdego

    Nawigacja – dział wiedzy zajmujący się określaniem bieżącego położenia oraz optymalnej drogi do celu dla ludzi, statków, pojazdów lądowych i innych przemieszczających się obiektów.Szereg Fouriera – w matematyce szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów (kompresja jpeg), a nawet w muzyce (kompresja mp3).

    Tymi funkcjami są:

    Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.Elektrotechnika (inżynieria elektryczna) - dziedzina techniki i nauki, która zajmuje się zagadnieniami związanymi z wytwarzaniem, przetwarzaniem (przekształcaniem), przesyłaniem, rozdziałem, magazynowaniem i użytkowaniem energii elektrycznej.

    Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować również jako jedyne funkcje oraz spełniające poniższe trzy warunki:

    Teoria muzyki – ogólne zasady i zagadnienia związane z muzyką (na ogół poważną) wyrażone w sposób czysto teoretyczny. W skład teorii muzyki wchodzi m.in. notacja muzyczna (zapis muzyczny), elementy dzieła muzycznego - skróty i oznaczenia, praktyka wykonawcza, harmonia, kontrapunkt.Funkcje hiperboliczne – funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej będących sumą, różnicą lub ilorazem funkcji eksponencjalnych określone następująco:

    Definicja za pomocą równań różniczkowych[ | edytuj kod]

    Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

    Paul Du Bois-Reymond (ur. 2 grudnia 1831 w Berlinie, zm. 7 kwietnia 1889 w Fryburgu) – niemiecki matematyk, profesor w Fryburgu, Tybindzie i Berlinie. Zajmował się głównie równaniami cząstkowymi, równaniami całkowymi, rachunkiem wariacyjnym i szeregami Fouriera.Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

    które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

    Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki:

    Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego

    Ultrasonografia, USG – nieinwazyjna, atraumatyczna metoda diagnostyczna, pozwalająca na uzyskanie obrazu przekroju badanego obiektu. Metoda ta wykorzystuje zjawisko rozchodzenia się, rozpraszania oraz odbicia fali ultradźwiękowej na granicy ośrodków, przy założeniu stałej prędkości fali w różnych tkankach równej 1540 m/s. W ultrasonografii medycznej wykorzystywane są częstotliwości z zakresu ok. 2-50 MHz. Fala ultradźwiękowa najczęściej generowana jest oraz przetwarzana w impulsy elektryczne przy użyciu zjawiska piezoelektrycznego (opisanego przez braci Curie na przełomie lat 1880-1881). Pierwsze doświadczenia nad wykorzystaniem ultrasonografii w diagnostyce prowadzone były w trakcie i zaraz po II wojnie światowej, a ultrasonografy wprowadzone zostały do szpitali na przełomie lat 60. i 70. XX wieku (jednym z pierwszych klinicznych zastosowań była diagnostyka płodu)Ekonomia – nauka społeczna analizująca oraz opisująca produkcję, dystrybucję oraz konsumpcję dóbr. Słowo „ekonomia” wywodzi się z języka greckiego i tłumaczy się jako oikos, co znaczy dom i nomos, czyli prawo, reguła. Starożytni Grecy stosowali tę definicję do określania efektywnych zasad funkcjonowania gospodarstwa domowego.

    Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych[ | edytuj kod]

    Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych:

    Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n {displaystyle n} -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli n {displaystyle n} jest liczbą postaci 2 k ⋅ p 1 ⋅ p 2 ⋯ ⋅ p s , {displaystyle 2^{k}cdot p_{1}cdot p_{2}dots cdot p_{s},} gdzie p 1 ,   p 2 ,   … p s ,   {displaystyle p_{1}, p_{2}, dots p_{s}, } są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F 0 = 3 {displaystyle F_{0}=3} , F 1 = 5 {displaystyle F_{1}=5} , F 2 = 17 {displaystyle F_{2}=17} , F 3 = 257 {displaystyle F_{3}=257} , F 4 = 65537 {displaystyle F_{4}=65537} i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

    Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych[ | edytuj kod]

    Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych:

    Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako B k {displaystyle ,{B_{k}}} , gdzie k {displaystyle ,{k}} jest numerem porządkowym liczby, k = 0 , 1 , 2... , {displaystyle k=0,1,2...,} wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: 1 10 + 2 10 + 3 10 + . . . + 1000 10 {displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}} "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

    Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji[ | edytuj kod]

    Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego.

    Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Warto wiedzieć że... beta

    Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.
    Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:
    Rynek finansowy – miejsce, gdzie dokonuje się transakcji środkami pieniężnymi. Przedmiotem rynku finansowego są walory finansowe występujące w postaci zmaterializowanej lub zdematerializowanej.
    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.
    Całkowy sinus hiperboliczny - funkcja specjalna zdefinowana jako całka stosunku sinusa hiperbolicznego do jego argumentu, tj. w sposób:
    Regiomontanus, właśc. Johannes Müller (ur. 6 czerwca 1436 w Unfinden koło Königsbergu w dzisiejszej Bawarii, zm. 6 lipca 1476 w Rzymie) – niemiecki matematyk, astronom i astrolog.
    Sinusoida zagęszczona albo warszawska – krzywa na płaszczyźnie stosowana czasem jako przykład w topologii. W zwykłym położeniu definiuje się ją jako zbiór będący sumą wykresu funkcji y = sin ⁡ 1 x , 0 < x ≤ 1 π {displaystyle y=sin { frac {1}{x}},0<xleq { frac {1}{pi }}} i odcinka { ( 0 , y ) : − 1 ≤ y ≤ 1 } {displaystyle {(0,y):-1leq yleq 1}} .

    Reklama