Funkcje elementarne – funkcje, które powstają z funkcji, takich jak: funkcja stała, identyczność
i
(
x
)
=
x
,
{\displaystyle i(x)=x,}
funkcje trygonometryczne i logarytm, za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie.
Funkcja wielu zmiennych – funkcja, której dziedzina została zdefiniowana jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego co najmniej dwóch zbiorów. Wówczas elementy dziedziny są krotkami. Wiele podstawowych funkcji rozpatrywanych w matematyce jest funkcjami wielu zmiennych (np. działania).Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.
Zbiór
E
{\displaystyle E}
wszystkich funkcji elementarnych konstruowany jest w następujący rekurencyjny sposób:
Niech
E
0
{\displaystyle E_{0}}
będzie zbiorem złożonym z następujących funkcji:
funkcji stałych postaci
f
c
(
x
)
=
c
,
{\displaystyle f_{c}(x)=c,}
gdzie c jest liczbą rzeczywistą (w niektórych ujęciach liczbą zespoloną)
identyczności
i
(
x
)
=
x
{\displaystyle i(x)=x}
funkcji trygonometrycznych
funkcji odwrotnych do trygonometrycznych
logarytmu
Jest to zbiór „cegiełek”, z których budowane są inne, bardziej skomplikowane funkcje.
Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Rekurencja, zwana także rekursją (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie.
Niech
O
{\displaystyle O}
będzie zbiorem operacji dwuargumentowych (tzn. funkcji dwóch zmiennych) w zbiorze liczb rzeczywistych (w niektórych ujęciach zespolonych), do którego należy:
dodawanie
o
+
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle o_{+}(x,y)=x+y}
odejmowanie
o
−
(
x
,
y
)
=
x
−
y
{\displaystyle o_{-}(x,y)=x-y}
mnożenie
o
⋅
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle o_{\cdot }(x,y)=xy}
dzielenie
o
/
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle o_{/}(x,y)={\frac {x}{y}}}
potęgowanie
o
e
x
p
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle o_{exp}(x,y)=x^{y}}
Jest to zbiór ‘metod układania cegiełek’ ze zbioru
E
0
.
{\displaystyle E_{0}.}
Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.Funkcje hiperboliczne – funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej będących sumą, różnicą lub ilorazem funkcji eksponencjalnych określone następująco:
Zbiorem
E
{\displaystyle E}
funkcji elementarnych nazywa się najmniejszy zbiór funkcji spełniający następujące warunki:
E
0
⊂
E
{\displaystyle E_{0}\subset E}
Jeśli
f
,
g
∈
E
{\displaystyle f,g\in E}
oraz
o
∈
O
,
{\displaystyle o\in O,}
to funkcja
x
↦
o
(
f
(
x
)
,
g
(
x
)
)
{\displaystyle x\mapsto o(f(x),g(x))}
również należy do
E
.
{\displaystyle E.}
Jeśli
f
,
g
∈
E
,
{\displaystyle f,g\in E,}
to złożenie
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
również należy do
E
.
{\displaystyle E.}
Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy istnieje (i to dokładnie jeden) najmniejszy zbiór
E
{\displaystyle E}
spełniający powyższe warunki. Konstruuje się go rekurencyjnie:
Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.
Zbiór
E
0
{\displaystyle E_{0}}
zdefiniowany jest powyżej.
Mając zdefiniowane zbiory
E
0
,
E
1
,
…
,
E
n
,
{\displaystyle E_{0},E_{1},\dots ,E_{n},}
zbiór
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}}
definiuje się jako zbiór wszystkich funkcji jednej z postaci:
Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.Funkcja algebraiczna – funkcja, dla której istnieją takie wielomiany Wn(x), Wn-1(x), ..., W1(x), W0(x) nie wszystkie równe tożsamościowo zeru, że dla każdego x z dziedziny funkcji spełnione jest równanie
x
↦
o
(
f
(
x
)
,
g
(
x
)
)
,
{\displaystyle x\mapsto o(f(x),g(x)),}
gdzie
f
,
g
∈
E
n
{\displaystyle f,g\in E_{n}}
oraz
o
∈
O
,
{\displaystyle o\in O,}
f
∘
g
,
{\displaystyle f\circ g,}
gdzie
f
,
g
∈
E
n
{\displaystyle f,g\in E_{n}}
Zbiór
E
{\displaystyle E}
definiuje się jako sumę zbiorów
E
i
,
{\displaystyle E_{i},}
i
=
0
,
1
,
2
,
…
.
{\displaystyle i=0,1,2,\dots .}
Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
Podstrony: 1 [2] [3]