Funkcje elementarne – funkcje, które powstają z funkcji, takich jak: funkcja stała, identyczność i ( x ) = x , {\displaystyle i(x)=x,} funkcje trygonometryczne i logarytm, za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie.

Definicja[ | edytuj kod]

Zbiór E {\displaystyle E} wszystkich funkcji elementarnych konstruowany jest w następujący rekurencyjny sposób:

Niech E 0 {\displaystyle E_{0}} będzie zbiorem złożonym z następujących funkcji:

funkcji stałych postaci f c ( x ) = c , {\displaystyle f_{c}(x)=c,} gdzie c jest liczbą rzeczywistą (w niektórych ujęciach liczbą zespoloną)

identyczności i ( x ) = x {\displaystyle i(x)=x}

Jest to zbiór „cegiełek”, z których budowane są inne, bardziej skomplikowane funkcje.

Niech O {\displaystyle O} będzie zbiorem operacji dwuargumentowych (tzn. funkcji dwóch zmiennych) w zbiorze liczb rzeczywistych (w niektórych ujęciach zespolonych), do którego należy:

dodawanie o + ( x , y ) = x + y {\displaystyle o_{+}(x,y)=x+y}

odejmowanie o − ( x , y ) = x − y {\displaystyle o_{-}(x,y)=x-y}

mnożenie o ⋅ ( x , y ) = x y {\displaystyle o_{\cdot }(x,y)=xy}

dzielenie o / ( x , y ) = x y {\displaystyle o_{/}(x,y)={\frac {x}{y}}}

potęgowanie o e x p ( x , y ) = x y {\displaystyle o_{exp}(x,y)=x^{y}}

Jest to zbiór ‘metod układania cegiełek’ ze zbioru E 0 . {\displaystyle E_{0}.}

Zbiorem E {\displaystyle E} funkcji elementarnych nazywa się najmniejszy zbiór funkcji spełniający następujące warunki:

E 0 ⊂ E {\displaystyle E_{0}\subset E}

Jeśli f , g ∈ E {\displaystyle f,g\in E} oraz o ∈ O , {\displaystyle o\in O,} to funkcja x ↦ o ( f ( x ) , g ( x ) ) {\displaystyle x\mapsto o(f(x),g(x))} również należy do E . {\displaystyle E.}

Jeśli f , g ∈ E , {\displaystyle f,g\in E,} to złożenie f ∘ g {\displaystyle f\circ g} również należy do E . {\displaystyle E.}

Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy istnieje (i to dokładnie jeden) najmniejszy zbiór E {\displaystyle E} spełniający powyższe warunki. Konstruuje się go rekurencyjnie:

Zbiór E 0 {\displaystyle E_{0}} zdefiniowany jest powyżej.

Mając zdefiniowane zbiory E 0 , E 1 , … , E n , {\displaystyle E_{0},E_{1},\dots ,E_{n},} zbiór E n + 1 {\displaystyle E_{n+1}} definiuje się jako zbiór wszystkich funkcji jednej z postaci:

x ↦ o ( f ( x ) , g ( x ) ) , {\displaystyle x\mapsto o(f(x),g(x)),} gdzie f , g ∈ E n {\displaystyle f,g\in E_{n}} oraz o ∈ O , {\displaystyle o\in O,}

f ∘ g , {\displaystyle f\circ g,} gdzie f , g ∈ E n {\displaystyle f,g\in E_{n}}

Zbiór E {\displaystyle E} definiuje się jako sumę zbiorów E i , {\displaystyle E_{i},} i = 0 , 1 , 2 , … . {\displaystyle i=0,1,2,\dots .}