• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Funkcje Bessela



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Jean Baptiste Joseph Fourier (ur. 21 marca 1768 w Auxerre, zm. 16 maja 1830 r. w Paryżu) – francuski matematyk i fizyk. Friedrich Wilhelm Bessel (ur. 22 lipca 1784 w Minden, zm. 17 marca 1846 w Królewcu, obecnie Kaliningrad, Rosja) – niemiecki astronom, geodeta i matematyk, który dokonał pomiarów położenia ok. 50 tys. gwiazd. Pozwoliło to po raz pierwszy dokładnie wyznaczyć odległości międzygwiezdne. Od roku 1810 profesor uniwersytetu w Królewcu. Założył tam obserwatorium astronomiczne, którym kierował.

    Funkcje Bessela – rozwiązania równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela):

    gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą.

    Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):

    Szczególnym przypadkiem, o szerokim zastosowaniu (m.in. w analizie rozkładu pola elektromagnetycznego czy przetwarzaniu sygnałów) są równania, gdzie α jest liczbą naturalną zwaną rzędem funkcji Bessela.

    Ponieważ mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego stopnia, musimy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania.

    Pole elektromagnetyczne – pole fizyczne, stan przestrzeni, w której na obiekt fizyczny mający ładunek elektryczny działają siły o naturze elektromagnetycznej. Pole elektromagnetyczne jest układem dwóch pól: pola elektrycznego i pola magnetycznego. Pola te są wzajemnie związane, a postrzeganie ich zależy też od obserwatora, wzajemną relację pól opisują równania Maxwella. Własności pola elektromagnetycznego, jego oddziaływanie z materią bada dział fizyki zwany elektrodynamiką. W mechanice kwantowej pole elektromagnetyczne jest postrzegane jako wirtualne fotony.Siméon Denis Poisson (ur. 21 czerwca 1781 w Pithiviers – zm. 25 kwietnia 1840 r. w Paryżu), francuski mechanik teoretyk, fizyk i matematyk. Zajmował się elektrycznością, magnetyzmem, grawitacją, balistyką, astronomią i mechaniką. W matematyce zajmował się całkami oznaczonymi, równaniami różnicowymi i różniczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa.

    Historia[ | edytuj kod]

    Szczególne przypadki funkcji, określanych dziś jako funkcje Bessela, pojawiały się już od pierwszej połowy XVIII w. w rozwiązaniach równań różniczkowych, dokonywanych podczas prób matematycznego opisu różnych problemów fizycznych.

    Daniel Bernoulli (ur. 8 lutego 1700 w Groningen, zm. 17 marca 1782 w Bazylei) – szwajcarski matematyk i fizyk, członek zagraniczny Akademii Stanisława w Nancy od 1755 roku. Joseph Louis Lagrange, wł. Giuseppe Lodovico (Luigi) Lagrangia (ur. 25 stycznia 1736 w Turynie, zm. 10 kwietnia 1813 w Paryżu) – matematyk i astronom pochodzenia włoskiego, pracujący we Francji i przez dwadzieścia lat w Berlinie dla króla pruskiego Fryderyka II.

    W 1732 r. szwajcarski matematyk Daniel Bernoulli, badając problem drgań zwisającego ważkiego i giętkiego łańcucha o swobodnym dolnym końcu, otrzymał równanie różniczkowe analogicznego typu, jak podano wyżej. Inny matematyk szwajcarski, Leonard Euler, badał w 1764 r. drgania napiętej przepony kołowej i uzyskał równanie różniczkowe takiej samej postaci, jak równanie, które nazywamy dziś uogólnionym równaniem Bessela. W 1781 r. badał on również wspomniane wyżej zagadnienie Bernoulliego i obliczył niektóre z początkowych zer pierwszego rozwiązania równania. Z kolei francuski matematyk Joseph Louis Lagrange przy rozwiązywaniu w roku 1770 pewnego problemu astronomicznego doszedł do równania, którego rozwiązanie przedstawione w postaci szeregu nieskończonego zawiera współczynniki, łączone obecnie z dziełem Bessela. Współczynnikami tymi zajmowali się następnie inni matematycy: Francesco Carlini i Pierre Simon de Laplace.

    Przetwarzanie sygnałów zajmuje się wykonywaniem pewnych operacji na sygnałach oraz interpretacją tychże sygnałów.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    W 1822 r. ukazało się dzieło słynnego matematyka francuskiego J.B. Fouriera pt. Analityczna teoria ciepła. Zajmując się problemem rozkładu temperatury w walcu ogrzanym do pewnej temperatury, a następnie poddanym chłodzeniu w określonych warunkach, Fourier otrzymał szczególny przypadek równania Bessela, dla którego podał rozwiązanie dla rzędu zero. Analizą rozkładów temperatur w kulach i walcach i funkcjami typu funkcji Bessela zajmował się później także inny Francuz, Siméon Denis Poisson. Wszyscy przywołani wyżej uczeni badali więc różne przypadki szczególne pewnego równania różniczkowego, jednak żaden z nich nie podjął próby rozwiązania go w sposób systematyczny.

    Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.Pierre Simon de Laplace (ur. 23 marca 1749 w Beaumont-en-Auge, zm. 5 marca 1827 w Paryżu) – francuski matematyk, astronom, geodeta i fizyk, jeden z twórców teorii prawdopodobieństwa, zwolennik subiektywnej interpretacji prawdopodobieństwa, na podstawie której dokonał m.in. obliczeń masy Saturna, które odbiegają od współcześnie uznanej wartości o mniej niż 1%. W 1772 został profesorem Akademii Wojskowej, następnie w 1785 został członkiem Paryskiej Akademii Nauk. W 1790 został dyrektorem Urzędu Miar i Wag. W 1799 przez krótki czas był Ministrem Spraw Wewnętrznych Francji.

    W 1824 r. Friedrich Wilhelm Bessel badał eliptyczne ruchy planet. Doszedł do wniosku, że wielkość astronomiczną, zwaną anomalią mimośrodową, można przedstawić za pomocą pewnego szeregu nieskończonego, który można przekształcić do postaci, zwanej obecnie funkcją Bessela. Wyniki swych prac wydał Bessel drukiem w 1826 r., jednak samo pojęcie „funkcji Bessela” upowszechniło się dopiero z górą 30 lat później, po publikacji pracy Oskara Schlömilcha pt. Über die Besselsche Funktion.

    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Reklama

    Czas generowania strony: 0.021 sek.