• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Funkcja ograniczona

    Przeczytaj także...
    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.
    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

    Funkcja ograniczonafunkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.

    Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.

    Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

    Ograniczoność z góry i z dołu[]

    Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

    Ciągi ograniczone[]

    Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w oczywisty sposób na ciągi. Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ograniczony.

    Topologia i analiza funkcjonalna[]

    Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości funkcji.

    Definicja intuicyjna: Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)

    Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.

    Przykłady[]

  • Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału .
  • Funkcje są nieograniczone. Funkcja kwadratowa jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
  • Ciąg jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału .
  • Ciąg choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
  • Ciąg nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.063 sek.