• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Funkcja mierzalna



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

    Funkcja mierzalna – funkcja zachowująca strukturę przestrzeni mierzalnych; stanowi ona naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki Lebesgue’a).

    Funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny. Z punktu widzenia teorii kategorii funkcje mierzalne są morfizmami przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi, czy homomorfizmów struktur algebraicznych.

    Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.

    Definicja ta wydaje się być prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane -algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji mówi się, że jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się -algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś jest σ-algebrą borelowską na prostej). W wyniku tego złożenie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue’a.

    Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

    Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że przestrzeń topologiczna wyposażona jest w σ-algebrę borelowską generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Np. funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych – to funkcja, której przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Analogicznie definiuje się funkcję mierzalną o wartościach zespolonych. Niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej.

    Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

    Funkcje niemierzalne uważane są za patologiczne, przynajmniej z punktu widzenia analizy. W rachunku prawdopodobieństwa (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi; funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni euklidesowej nazywane są często wektorami losowymi.

    Szczególne przypadki[ | edytuj kod]

  • Jeżeli oraz przestrzeniami borelowskimi, to funkcja mierzalna bywa nazywana funkcją borelowską. Funkcje ciągłe są borelowskie, ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe. Mimo wszystko funkcja mierzalna jest niemal funkcją ciągłą, o czym mówi twierdzenie Łuzina. Jeżeli funkcja jest cięciem pewnego przekształcenia to nazywa się je cięciem borelowskim.
  • funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a to funkcja mierzalna gdzie oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś to σ-algebra borelowska liczb zespolonych Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a są w centrum zainteresowania analizy matematycznej z powodu ich całkowalności.
  • Zmienne losowe definiuje się jako funkcje mierzalne określone na przestrzeniach próbek (zdarzeń elementarnych).
  • Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Warto wiedzieć że... beta

    Funkcje minimum i maksimum – funkcje przypisujące zbiorowi częściowo uporządkowanemu jego odpowiednio element najmniejszy i największy (o ile takie elementy istnieją). Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).
    Całka Lebesgue’a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.
    Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych, przestrzeń próbek losowych) - to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego; wyniki te nazywa się zdarzeniami elementarnymi.
    Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.
    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.
    Stanisław Łojasiewicz (ur. 9 października 1926 r. w Warszawie, zm. 14 listopada 2002 r. we Włoszech), profesor Uniwersytetu Jagiellońskiego.
    Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.032 sek.