• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Fraktal



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Fiord – rodzaj głębokiej zatoki, mocno wcinającej się w głąb lądu, często rozgałęzionej, z charakterystycznymi stromymi brzegami, powstałej przez zalanie żłobów i dolin polodowcowych.Wizualizacja – ogólna nazwa graficznych metod tworzenia, analizy i przekazywania informacji. Za pomocą środków wizualnych ludzie wymieniają się zarówno ideami abstrakcyjnymi jak i komunikatami mającymi bezpośrednie oparcie w rzeczywistości. W dzisiejszych czasach wizualizacja wpływa na sposób prowadzenia badań naukowych, jest rutynowo wykorzystywana w dyscyplinach technicznych i medycynie, służy celom dydaktycznym, a także bywa pojmowana jako środek wyrazu artystycznego.
    Fraktal

    Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe charakterystyki albo przynajmniej ich większość:

    Zbiór Julii i zbiór Fatou to dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.
  • ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
  • struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,
  • jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,
  • jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny,
  • ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
  • ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.
  • Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal. Wiele fraktali ma niecałkowity wymiar Hausdorffa, co wyjaśnia etymologię nazwy.

    Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.Kostka Cantora (ciężaru κ {displaystyle kappa ,} , gdzie κ {displaystyle kappa ,} jest nieskończoną liczbą kardynalną) - przestrzeń produktowa κ {displaystyle kappa ,} kopii zbioru { 0 , 1 } {displaystyle {0,1},} z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru κ {displaystyle kappa ,} oznacza jest zwykle symbolem D κ {displaystyle D^{kappa },} - dokładniej:

    Spis treści

  • 1 Historia
  • 2 Właściwości
  • 3 Generowanie fraktali
  • 3.1 Atraktory IFS
  • 3.2 Zbiory Julii i Mandelbrota
  • 4 W przyrodzie
  • 5 Przykłady
  • 5.1 Fraktale w matematyce
  • 5.2 Fraktale w grafice komputerowej
  • 5.3 Fraktalopodobne obiekty w świecie rzeczywistym
  • 6 Zobacz też
  • 7 Przypisy
  • 8 Bibliografia
  • 9 Linki zewnętrzne
  • Historia[]

    Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

    Rekurencja, zwana także rekursją (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie.Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).

    Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy, a także Donald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abraham Bezikowicz, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej anteny fraktalnej. Liczne odpowiedniki fraktali istnieją też w naturze.

    Dziwny atraktor, atraktor chaotyczny jest to taki atraktor, który jest fraktalem. Jeśli w danym układzie dynamicznym występuje dziwny atraktor to jest to równoważne stwierdzeniu, że ten układ jest chaotyczny.Komputer (z ang. computer od łac. computare – liczyć, sumować; dawne nazwy używane w Polsce: mózg elektronowy, elektroniczna maszyna cyfrowa, maszyna matematyczna) – maszyna elektroniczna przeznaczona do przetwarzania informacji, które da się zapisać w formie ciągu cyfr albo sygnału ciągłego.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Funkcja osobliwa (określana również jako Diabelskie schody) – w matematyce dowolna funkcja ƒ(x), określona dla przedziału [a, b], posiadająca następujące właściwości:
    Felix Hausdorff (ur. 8 listopada 1868 roku we Wrocławiu (wówczas Breslau), zm. 26 stycznia 1942 roku w Bonn) – niemiecki matematyk, jeden z twórców topologii.
    Wymiar pudełkowy (objętościowy, pojemnościowy) - uogólnienie intuicyjnego pojęcia wymiaru, zdefiniowane przez Andrieja Kołmogorowa.
    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
    Smok Heighwaya, Hartera-Heighwaya (także smok z Parku Jurajskiego) był badany po raz pierwszy przez Johna Heighwaya, Bruce’a Banksa i Williama Hartera z NASA. Fraktal ten został spopularyzowany przez Martina Gardnera w jego dziale Mathematical Games (pol. Gry Matematyczne) w Scientific American w roku 1967. Wiele jego własności zostało po raz pierwszy opublikowanych przez Chandlera Davisa oraz Donalda Knutha. Fraktal ten pojawił się w powieści Michaela Crichtona Jurassic Park.
    Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.
    Open Directory Project (zwany także dmoz od Directory Mozilla) – otwarty katalog stron WWW, utrzymywany na serwerach koncernu Time Warner, w którym zarówno drzewo kategorii jak i wszelkie wpisy są redagowane przez wspólnotę redaktorów-ochotników.

    Reklama