• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Forma dwuliniowa



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

    Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowyprzekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).

    Inwolucja (od łac. involution-, involutio, od involvere, „zawinąć, owinąć”, od in- i volvere, „zwinąć”; spokr. ze staroang. wealwian, „zwinąć” i gr. eilyein, „zwinąć, owinąć”) – wyraz oznaczający jeden z następujących terminów:Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

    Teoria form dwuliniowych znajduje zastosowanie w wielu działach matematyki: w analizie wielowymiarowej formą dwuliniową jest druga pochodna w przestrzeni euklidesowej − przy odpowiednich założeniach (twierdzenie Clairaut bądź Schwarza) jest ona symetryczna (a jej macierzą w ustalonej bazie jest macierz Hessego); w rachunku wariacyjnym określoność tej formy dwuliniowej mówi o kształcie hiperpowierzchni (ekstremum, siodło) wokół punktu krytycznego danej formy (funkcjonału); w geometrii rzutowej formy dwuliniowe służą ustaleniu dualności i umożliwiają zdefiniowanie kolineacji, a przede wszystkim korelacji (konstrukcja dopełnienia ortogonalnego dla niezdegenerowanej formy dwuliniowej stanowi jej uogólnienie), dodanie warunku inwolutywności korelacji pozwala na badanie biegunowości; w analizie funkcjonalnej ograniczone i eliptyczne (koercywne) formy dwuliniowe na przestrzeni Hilberta występujące w twierdzeniu Laxa-Milgrama mówią o jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), w tym równania Poissona pojawiającego się w m.in. elektrostatyce, czy innych problemach mechaniki ośrodków ciągłych; rzeczywiste przestrzenie liniowe wyposażone w niezdegenerowane dwuliniowe formy alternujące są lokalnymi modelami dla przestrzeni fazowych w mechanice hamiltonowskiej. Dodatnio określone, symetryczne formy dwuliniowe odgrywają istotną rolę w analizie (rzeczywiste przestrzenie Hilberta) jak i w geometrii (rozmaitości riemannowskie); niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w teoria względności, gdzie bada się przestrzenie pseudoeuklidesowe (zob. ostatni przykład).

    Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.
    Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.

    Definicja[]

    Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Przekształcenie nazywa się formą dwuliniową albo funkcjonałem dwuliniowym na jeżeli jest:

    Elektrostatyka – dziedzina fizyki zajmująca się oddziaływaniami pomiędzy nieruchomymi ładunkami elektrycznymi. Oddziaływania te zwane są elektrostatycznymi. Elektrostatyka rozpatruje też ładunki poruszające się, o ile pomija się wszystkie efekty wynikające z ruchu ładunków z wyjątkiem zmiany ilości ładunku.Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu f {displaystyle f} jego jądro oznacza się zwykle ker  f {displaystyle {mbox{ker }}f} (od ang. kernel)
  • liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu,
  • liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i jednorodne względem drugiej współrzędnej,
  • Na formę dwuliniową można nałożyć dodatkowe warunki:

    Rozwijanie funkcji (ang. currying) - operacja w funkcyjnych językach programowania polegająca na przekształceniu funkcji, która pobiera parę argumentów i zwraca wynik (f : (P × Q) → R) w funkcję, która po pobraniu argumentu zwraca funkcję, która pobiera argument i zwraca wynik (g : P → (Q → R)). Operacja odwrotna nosi nazwę zwijanie funkcji (ang. uncurrying).Twierdzenie przeciwstawne (także: kontrapozycja lub transpozycja) – dla danego twierdzenia zdanie orzekające wynikanie zaprzeczenia założenia z zaprzeczenia tezy. Twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia jeżeli A, to B jest zdanie jeżeli nieprawda, że B, to nieprawda, że A.
  • refleksywności,
  • alternacyjności,
  • symetryczności,
  • antysymetryczności (lub symplektyczności),
  • Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna albo alternująca. Dodatkowo dwuliniowa forma antysymetryczna to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej lub alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystyki; z drugiej strony w ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna. Choć w przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności i antysymetryczności pokrywają się, to w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal żywa, dodatkowo pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałych.

    Forma półtoraliniowa albo funkcjonał półtoraliniowy – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej przekształcenie półtoraliniowe danej zespolonej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na jeden parametr (zob. funkcjonał liniowy) i antyliniowy ze względu na drugi.Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Macierz przekształcenia liniowego – w algebrze liniowej macierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwoma przestrzeniami współrzędnych.
    Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zapoznaj się również z: wymiar, baza.
    Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).
    Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.
    Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.
    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
    Macierz antysymetryczna – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa A = [aij] jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.094 sek.