• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Forma Killinga

    Przeczytaj także...
    Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – w algebrze liniowej przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).W matematyce, grupa Liego to grupa, która jest zarazem gładką rozmaitością. Można na nią patrzeć jako na zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości i grupy. Przykładem grupy Liego jest grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych.
    Wilhelm Karl Joseph Killing (ur. 10 maja 1847 w Burbach w Nadrenii Północnej-Westfalii, zm. 11 lutego 1923 w Münster) – niemiecki matematyk, autor istotnych prac z zakresu teorii algebr i grup Liego oraz geometrii nieeuklidesowej.

    Forma Killingasymetryczna forma dwuliniowa, która odgrywa fundamentalną rolę w teorii grup Liego i algebr Liego. Nazwa pochodzi od Wilhelma Killinga.

    Definicja[ | edytuj kod]

    Rozważmy algebrę Liego nad polem skalarnym Z każdym elementem algebry można powiązać sprzężony endomorfizm (zapisywany też symbolem ), przypisujący danemu elementowi algebry wartość nawiasu Liego elementu elementem tj.

    Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.Algebra Liego – w matematyce, struktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego, rozwiązywania układów nieliniowych etc.

    Jeżeli grupa jest skończenie wymiarowa, to ślad złożenia dwóch endomorfizmów jest nazywany formą Killinga algebry Liego

    Forma Killinga jest formą biliniową symetryczną.

    Elementy macierzowe formy[ | edytuj kod]

    Niech oznaczają elementy bazy algebry Liego. Wtedy elementy macierzowe formy Killinga są dane wzorem

    gdzie – indeks Dynkina reprezentacji algebry sprzężonej. Przy czym mamy

    – w powyższym wzorze zastosowano konwencję sumacyjną Einsteina po powtarzających się indeksach; – stałe struktury algebry Liego. Liczba indeksuje kolumny, zaś indeks indeksuje rzędy macierzy Obliczenie śladu polega na sumowaniu wyrazów o indeksach dlatego forma przyjmuje postać

    Forma Killinga jest najprostszym tensorem 2 rzędu, który można utworzyć ze stałych struktury.

    Uwaga:

    W powyższej definicji trzeba odróżnić indeksy dolne od górnych, ponieważ forma Killinga może być użyta do definicji tensora metrycznego rozmaitości, a wtedy istotne staje się to odróżnienie ze względy na inne reguły transformacji indeksu górnego od indeksu dolnego tensora.

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • https://en.wikipedia.org/Daniel_Bump Daniel Bump, Lie Groups (2004), Graduate Texts in Mathematics, 225, Springer-Verlag.
  • Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992) Cambridge University Press.
  • Forma Killinga. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.)



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.04 sek.