Element odwrotny

Przeczytaj także...
Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech ♢ {\displaystyle \diamondsuit } $\diamondsuit$ oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze S {\displaystyle S} $S$ . Element x {\displaystyle x} $x$ nazywa się elementem odwrotnym do y {\displaystyle y} $y$ jeżeli spełnione są dwa warunki:

Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.

x ♢ y = e {\displaystyle x\;\diamondsuit \;y=e} $x\;\diamondsuit \;y=e$ ,
y ♢ x = e {\displaystyle y\;\diamondsuit \;x=e} $y\;\diamondsuit \;x=e$ ,

gdzie e {\displaystyle e} $e$ oznacza element neutralny działania ♢ {\displaystyle \diamondsuit } $\diamondsuit$ .

1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

Jeżeli działanie ♢ {\displaystyle \diamondsuit } $\diamondsuit$ zapisywane jest za pomocą symboli + , ⊕ , ∪ , ∨ {\displaystyle +,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor } $+,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor$ , itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia − x {\displaystyle -x} $-x$ . Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: ∗ , ⋅ , ⊗ , ∩ , ∧ , ⋆ {\displaystyle *,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star } $*,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star$ , itp. i oznaczamy x − 1 {\displaystyle x^{-1}} $x^{{-1}}$

Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.Element odwracalny – w algebrze dla danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego określonego w pewnej strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego odwrotny względem tego działania.

Elementy jednostronne[]

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. "Zwykły" element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.