Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.
Niech
♢
{\displaystyle \diamondsuit }
oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze
S
.
{\displaystyle S.}
Element
x
{\displaystyle x}
nazywa się elementem odwrotnym do
y
{\displaystyle y}
jeżeli spełnione są dwa warunki:
Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.
-
x
♢
y
=
e
,
{\displaystyle x\;\diamondsuit \;y=e,}
-
y
♢
x
=
e
,
{\displaystyle y\;\diamondsuit \;x=e,}
gdzie
e
{\displaystyle e}
oznacza element neutralny działania
♢
.
{\displaystyle \diamondsuit .}
1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.
Jeżeli działanie
♢
{\displaystyle \diamondsuit }
zapisywane jest za pomocą symboli
+
,
⊕
,
∪
,
∨
,
{\displaystyle +,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor ,}
itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia
−
x
.
{\displaystyle -x.}
Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia:
∗
,
⋅
,
⊗
,
∩
,
∧
,
⋆
,
{\displaystyle *,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star ,}
itp. i oznaczamy
x
−
1
{\displaystyle x^{-1}}
Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.Element odwracalny – w algebrze dla danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego określonego w pewnej strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego odwrotny względem tego działania.
Elementy jednostronne[ | edytuj kod]
Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. „Zwykły” element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.
Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.
Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.
Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.
W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.
Niech
♢
{\displaystyle \diamondsuit }
będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby
2
{\displaystyle 2}
jest liczba
−
2.
{\displaystyle -2.}
Mamy bowiem:
2
+
(
−
2
)
=
0
{\displaystyle 2+(-2)=0}
oraz
(
−
2
)
+
2
=
0
{\displaystyle (-2)+2=0}
(zero jest elementem neutralnym dodawania).
Jeżeli
♢
{\displaystyle \diamondsuit }
jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby
2
{\displaystyle 2}
jest liczba
1
2
,
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}},}
bo
2
⋅
1
2
=
1
2
⋅
2
=
1
{\displaystyle 2\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\cdot 2=1}
(jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).
Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.
łączność
przemienność
rozdzielność
element odwracalny
