• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Element odwracalny

    Przeczytaj także...
    Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.
    Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

    Element odwracalny – dla danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego określonego w pewnej strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego odwrotny względem tego działania.

    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Warunek konieczny – wniosek wypływający z danego faktu. Jeżeli fakt ma zaistnieć, to zaistnieć (koniecznie) musi również fakt będący wnioskiem.

    Innymi słowy, jeżeli zbiór wyposażony jest w działanie to element jest odwracalny, jeśli istnieje taki element dla którego spełnione są równości

    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Mnożenie macierzy – w matematyce operacja mnożenia macierzy przez skalar lub inną macierz. Artykuł zawiera opis różnorodnych sposobów przeprowadzania ich mnożenia.
    oraz

    gdzie jest elementem neutralnym działania

    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

    Jeżeli spełniony jest tylko pierwszy warunek, to element nazywa się prawostronnie odwracalnym, jeżeli wyłącznie drugi, to nazywa się go lewostronnie odwracalnym. Łączność działania gwarantuje, że elementy odwracalne jednostronnie są odwracalne obustronnie, z kolei przemienność tego działania sprawia, że elementy tak lewo- i, jak i prawostronnie odwracalne są odwracalne obustronnie.

    Teoria pierścieni – dział algebry zajmujący się badaniem pierścieni. Znajduje on szerokie zastosowanie w innych obszarach matematyki, między innymi w teorii liczb i geometrii algebraicznej.Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

    Teoria pierścieni[ | edytuj kod]

    W teorii pierścieni elementy odwrotne względem dodawania nazywane są elementami przeciwnymi. Ponieważ elementy pierścienia z działaniem dodawania tworzą grupę, to dla każdego elementu pierścienia istnieje element do niego przeciwny, zatem każdy z nich jest odwracalny względem tego dodawania. Zwyczajowo nazwę element odwrotny rezerwuje się dla elementu odwrotnego względem mnożenia. Ponieważ nie każdy element ma element do niego odwrotny względem mnożenia, to uzasadnione jest wyróżnianie tych elementów, które mają swoje odwrotności – właśnie one nazywane są elementami odwracalnymi lub dla odróżnienia od ogólnie pojętych elementów odwracalnych jednościami (nie należy mylić z jedynką, która w danym pierścieniu z jedynką jest jedna).

    Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) to liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako { a + b i : a , b ∈ Z ∧ i 2 = − 1 } {displaystyle {a+bi:a,bin mathbb {Z} wedge i^{2}=-1}} .Dzielnik zera – element a {displaystyle a} pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element b {displaystyle b} spełniający a b = 0 {displaystyle ab=0} .

    Dla danego pierścienia z jedynką element nazywa się odwracalnym lub jednością, jeśli jest dzielnikiem jedynki:

    Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się parami względnie pierwszymi.Dziedzina całkowitości – niezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

    Grupa elementów odwracalnych[ | edytuj kod]

    Zbiór elementów odwracalnych danego pierścienia oznacza się symbolem lub Ponieważ zbiór ten zawiera jedynkę (elementem do niej odwrotnym jest ona sama) oraz dla jest to jest grupą.

    Warunek wystarczający (inaczej warunek dostateczny) – każdy warunek, z którego dany fakt wynika. Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

    Pierścień (z jedynką) jest pierścieniem z dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy

    Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.Pierścień z dzieleniem – struktura algebraiczna spełniająca wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem aksjomatu przemienności mnożenia. Każde ciało jest więc pierścieniem z dzieleniem. Mimo że iloczyn w niżej opisanych pierścieniach i algebrach jest łączny, rozważa się także niełączne algebry z dzieleniem, np. algebrę oktonionów.

    Stowarzyszenie[ | edytuj kod]

    W pierścieniu przemiennym z jedynką grupa elementów odwracalnych działa na zbiorze za pomocą mnożenia. Orbity tego działania nazywane są klasami elementów stowarzyszonych. Oznacza to, że istnieje określona na relacja równoważności nazywana stowarzyszeniem, taka że

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

    Innymi słowy elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny.

    Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

    W dziedzinie całkowitości moc klas elementów stowarzyszonych, wyłączając jest równa mocy zbioru

    Działanie grupy – w algebrze i geometrii sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru).Pierścień przemienny – w teorii pierścieni, dziedzinie algebry abstrakcyjnej, pierścień w którym działanie mnożenia jest przemienne. Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia).

    Przykłady[ | edytuj kod]

    Zapoznaj się również z: arytmetyka modularna, gdzie bada się pierścienie i ciała

    W poniższych przykładach wszystkie elementy wspomnianych pierścieni mają elementy przeciwne, czyli są one odwracalne względem dodawania. Omawiane są w nich elementy odwracalne względem działania multiplikatywnego.

    Funkcja φ (Eulera) lub tocjent – funkcja nosząca nazwisko Eulera przypisująca każdej liczbie naturalnej liczbę liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej samej.Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.
  • Pierścień liczb całkowitych ma dokładnie dwa elementy odwracalne (jedności): oraz
  • W pierścieniu liczb całkowitych Gaussa są nimi wyłącznie oraz
  • W pierścieniu gdzie istnieją elementy tak odwracalne (względnie pierwsze z ), jak i nieodwracalne (w przeciwnym przypadku), ich liczba dana jest za pomocą funkcji φ Eulera, np. w odwracalne są elementy i pozostałe, czyli oraz są nieodwracalne.
  • W pierścieniu wielomianów o współczynnikach wymiernych jedynymi elementami odwracalnymi są wielomiany stopnia 0 (różne od zera wielomiany stałe).
  • W dowolnym ciele każdy niezerowy element jest odwracalny. Jest to warunek konieczny, by pierścień był ciałem. Jeśli pierścień jest nietrywialny to jest to warunek konieczny i wystarczający.
  • Dla liczb rzeczywistych :
  • Dla gdzie jest liczbą pierwszą, przykładowo
  • W zbiorze macierzy kwadratowych ustalonego stopnia z mnożeniem Cauchy’ego elementami odwracalnymi (macierzami odwracalnymi) są wszystkie macierze nieosobliwe.
  • Zobacz też[ | edytuj kod]

  • dzielnik zera
  • element neutralny
  • element odwrotny




  • Reklama

    Czas generowania strony: 0.035 sek.