• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Element nilpotentny



    Podstrony: 1 [2] [3]
    Przeczytaj także...
    Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.Dzielnik zera – element a {displaystyle a} pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element b {displaystyle b} spełniający a b = 0 {displaystyle ab=0} .

    Element nilpotentny lub nilpotent pierścienia – element pierścienia o tej własności, że

    dla pewnej liczby naturalnej W każdym pierścieniu 0 (element neutralny dodawania) jest elementem nilpotentnym.

    C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu C*) – zespolona algebra Banacha A z dodatkowym działaniem inwolucji *: A → A (A jest więc *-algebrą), spełniającym warunekElement odwracalny – w algebrze dla danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego określonego w pewnej strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego odwrotny względem tego działania.

    Własności[ | edytuj kod]

    Twierdzenie. Niezerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera.

    Dowód. Niech będzie niezerowym elementem nilpotentnym pierścienia Oznacza to, że dla pewnego zachodzi Ponieważ, z założenia, element jest niezerowy, to Oznacza to, że

    Idempotentność (łac. idempotent-: idem, „taki sam, równy” i potens, „mieć moc, siłę”, od potis, pote, „móc”; spokr. z gr. πόσις posis, „małżonek”, sanskr. पित pati, „mistrz, małżonek”) – w matematyce i informatyce właściwość pewnych operacji, która pozwala na ich wielokrotne stosowanie bez zmiany wyniku.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    co dowodzi tezy.

    Twierdzenie. Suma dwóch elementów nilpotentnych, które są ze sobą przemienne, jest także elementem nilpotentnym.

    Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu ( x + y ) n {displaystyle (x+y)^{n}} można rozwinąć w sumę jednomianów postaci a x k y l {displaystyle ax^{k}y^{l}} . W każdym z tych jednomianów współczynnik a {displaystyle a} jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy x {displaystyle x} oraz y {displaystyle y} sumują się do n {displaystyle n} . Współczynniki a {displaystyle a} przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.Pierścień przemienny – w teorii pierścieni, dziedzinie algebry abstrakcyjnej, pierścień w którym działanie mnożenia jest przemienne. Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia).

    Dowód. Niech będzie pierścieniem przemiennym, a dwoma elementami nilpotentnymi. Oznaczmy przez liczby takie, że i Ponieważ, z założenia, elementy i są ze sobą przemienne, to możemy zastosować wzór Newtona dla wyrażenia otrzymując

    Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

    Dla zachodzi czyli i składniki odpowiadające tym indeksom są zerami. Pozostałe składniki odpowiadają czyli w tym przypadku Oznacza to, że wszystkie składniki w powyższej sumie są zerami, a więc i cała suma jest zerem. Element jest więc elementem nilpotentnym.

    Wniosek. W pierścieniu przemiennym suma dowolnych dwóch elementów nilpotentnych jest elementem nilpotentnym.

    Twierdzenie. W pierścieniu przemiennym z jedynką suma elementu nilpotentnego i elementu odwracalnego jest elementem odwracalnym.

    Dowód. Niech będzie nilpotentem Wówczas Jeśli elementem odwracalnym (z twierdzenia) jest jedynka, to teza wynika z tożsamości:

    Dla dowolnego odwracalnego zachodzi:

    Ponieważ jest nilpotentem z założenia o odwracalności i z pierwszej części dowodu wynika teza

    Podstrony: 1 [2] [3]




    Reklama

    Czas generowania strony: 0.029 sek.