• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Ekstremum



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).
    Ekstrema lokalne funkcji zaznaczone kolorem niebieskim (właściwe maksimum lokalne) i czerwonym (właściwe minimum lokalne)

    Ekstremum funkcji (l. mn. ekstrema; z łac. extrēmus – najdalszy, ostatni) – maksymalna lub minimalna wartość funkcji.

    Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.
  • Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).
  • Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym sąsiedztwie punktu funkcja nie ma również wartości równych to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe.
  • Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi.
  • Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi.
  • Obrazowo: Na powierzchni Ziemi maksimum globalne wysokości nad poziomem morza występuje na szczycie Mount Everestu, maksimum lokalnym jest szczyt każdego pagórka. Jeśli szczyt pagórka jest poziomy i płaski (a także niekiedy w innych przypadkach), nie będzie to maksimum lokalne właściwe.

    Mechanika klasyczna – dział mechaniki w fizyce opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badaniem równowagi ciał materialnych (statyka). Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana „mechaniką Newtona” (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu.Płaszczyzna styczna - pojęcie matematyczne mające sens w przestrzeni trójwymiarowej. Gdy dana jest funkcja trzech zmienych, np.:

    Istnieją funkcje nieposiadające ekstremów lokalnych ani globalnych, np. funkcja

    Poszukiwanie ekstremów jest ważne w praktycznych zastosowaniach matematyki, na przykład w technice i statystyce. Wiele zagadnień optymalizacyjnych sprowadza się do poszukiwania ekstremów odpowiednich funkcji, jak na przykład funkcji kosztu, albo miary jakości dla różnych parametrów danego urządzenia.

    Teoria ekstremów w naturalny sposób ma silny związek z teorią nierówności: wiele problemów i twierdzeń można formułować równoważnie zarówno w języku ekstremów, jak i nierówności, co rzuca światło na obie te dziedziny.

    Lewica – określa różne partie polityczne, w zależności od podziału sceny politycznej w danym kraju. Zwyczajowo określenie to stosuje się do sił politycznych dążących do zmian polityczno-ustrojowych, społecznych i gospodarczych, przeciwstawiających się tzw. tradycyjnemu porządkowi społecznemu, przeciwne prawicy. Głównym założeniem lewicy jest dążenie do wolności, równości i sprawiedliwości społecznej.Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

    Spis treści

  • 1 Funkcje, dla których można rozważać ekstrema
  • 2 Definicje
  • 3 Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej
  • 3.1 Proste przykłady ekstremów
  • 3.2 Przykład – właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny
  • 3.3 Warunek wystarczający ekstremum globalnego (twierdzenie Weierstrassa)
  • 3.4 Funkcje różniczkowalne
  • 3.4.1 Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata)
  • 3.4.2 Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
  • 3.4.3 Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów
  • 3.4.4 Kryterium istnienia ekstremów funkcji n-krotnie różniczkowalnych
  • 3.5 Proste zagadnienia optymalizacyjne
  • 3.5.1 Pudełko o największej objętości
  • 3.5.2 Koszt eksploatacji statku
  • 4 Funkcje określone na podzbiorach przestrzeni unormowanych
  • 4.1 Definicje pomocnicze
  • 4.2 Ekstrema a druga pochodna
  • 4.3 Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum
  • 5 Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny
  • 5.1 Przykład
  • 6 Funkcje uwikłane
  • 6.1 Przykład
  • 7 Rachunek wariacyjny
  • 7.1 Ekstrema mocne i słabe
  • 7.2 Przykład – równania Eulera-Lagrange’a
  • 8 Ekstrema warunkowe
  • 8.1 Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego
  • 8.2 Warunki wystarczające istnienia ekstremum warunkowego
  • 8.3 Ekstrema warunkowe w
  • 8.4 Przykład – ekstrema funkcji na okręgu
  • 8.5 Przykład – problem maksymalnej entropii
  • 9 Gradacyjna analiza odpowiedniości
  • 10 Zobacz też
  • 11 Przypisy
  • 12 Bibliografia
  • Funkcje, dla których można rozważać ekstrema[ | edytuj kod]

    Funkcja jako przyporządkowanie

    W matematyce wartością funkcji nie musi być koniecznie liczba – funkcją jest dowolne przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru zwanego dziedziną po jednym elemencie zbioru zwanego przeciwdziedziną. Funkcją jest więc również przyporządkowanie każdemu łysemu aktorowi Teatru Wielkiego koloru włosów jego ulubionej peruki.

    Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.Johann Bernoulli (ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony. Odkrył talent matematyczny Leonharda Eulera i odwiódł jego ojca od decyzji kształcenia Leonharda na pastora.

    Pojęcie ekstremum wymaga, by wartości funkcji dało się ze sobą porównywać – w przeciwdziedzinie funkcji powinien być zatem zdefiniowany jakiś porządek. Zbiór uporządkowany, i to liniowo, tworzą np. liczby rzeczywiste. Nie ma natomiast powszechnie przyjętego uporządkowania kolorów, zwłaszcza porządku liniowego.

    Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.

    W przypadku ekstremum lokalnego konieczne jest ponadto sprecyzowanie pojęcia „lokalności”. Dokonuje się to przez określenie dla każdego argumentu funkcji, które punkty z jej dziedziny są mu „bliskie”. Formalizując to podejście, określamy w każdym punkcie dziedziny funkcji tak zwaną bazę otoczeń punktu. Dla liczby rzeczywistej otoczeniem jest np. przedział otwarty, zawierający tę liczbę. Ogólnie, zbiór z systemem otoczeń, spełniającym pewne naturalne warunki tworzy tzw. przestrzeń topologiczną.

    Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu f {displaystyle f} jego jądro oznacza się zwykle ker  f {displaystyle {mbox{ker }}f} (od ang. kernel)Korelacja rangowa – dowolna statystyka pozwalająca na określenie zależności zmiennych losowych w sposób niezmienniczy ze względu na operację rangowania.

    O ekstremach lokalnych można zatem mówić w przypadku dowolnej funkcji, której dziedzina jest przestrzenią topologiczną, a przeciwdziedzina zbiorem częściowo uporządkowanym. Ze względu na zastosowania najczęściej rozważa się szczególny przypadek – funkcje rzeczywiste, czyli funkcje o wartościach w liczbach rzeczywistych, których dziedzina jest podzbiorem skończeniewymiarowej przestrzeni euklidesowej.

    Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

    Definicje[ | edytuj kod]

    Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie tej przestrzeni:

    Elżbieta Pleszczyńska (ur. 20 marca 1933 w Woli Wydrzynej) – statystyk, profesor zwyczajny nauk matematycznych, działaczka społeczna na rzecz pomocy niepełnosprawnym.Statystyka (niem. Statistik, „badanie faktów i osób publicznych”, z łac. [now.] statisticus, „polityczny, dot. polityki”, od status, „państwo, stan”) – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.
  • minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego
  • więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji mniejsze od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe,
  • maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego
  • więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji większe od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe,
  • właściwe minimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości większe od czyli nie ma wartości równych dla formalnie:
  • dla każdego
  • właściwe maksimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości mniejsze od formalnie:
  • dla każdego

    Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym ma w punkcie swojej dziedziny:

    Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).
  • minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
  • maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
  • właściwe minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
  • czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości większe od
  • właściwe maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
  • czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości mniejsze od

    Nie każda funkcja posiada ekstrema. Jeśli funkcja nie jest ograniczona (np. ), to nie ma maksimum ani minimum globalnego – jeżeli nie jest ograniczona od góry, to nie ma maksimum globalnego; a jeżeli od dołu, to nie ma minimum globalnego.

    Warunek konieczny – wniosek wypływający z danego faktu. Jeżeli fakt ma zaistnieć, to zaistnieć (koniecznie) musi również fakt będący wnioskiem.Korelacja rang Spearmana (lub: korelacja rangowa Spearmana, rho Spearmana) – w statystyce jedna z nieparametrycznych miar monotonicznej zależności statystycznej między zmiennymi losowymi.

    Można też mówić o maksimach i minimach w podzbiorze dziedziny – są to wówczas największe lub najmniejsze wartości funkcji dla argumentów z tego podzbioru.

    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]




    Warto wiedzieć że... beta

    Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).
    Entropia – w ramach teorii informacji jest definiowana jako średnia ilość informacji, przypadająca na pojedynczą wiadomość ze źródła informacji. Innymi słowy jest to średnia ważona ilości informacji niesionej przez pojedynczą wiadomość, gdzie wagami są prawdopodobieństwa nadania poszczególnych wiadomości.
    Brachistochrona – krzywa, po której czas staczania się masy punktowej od punktu A do punktu B pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos (βραχιστoς) - "najkrótszy" i chronos (χρovoς) - "czas".
    Skala porządkowa – jeden z rodzajów skal pomiarowych. Zmienne są na skali porządkowej, gdy przyjmują wartości, dla których dane jest uporządkowanie (kolejność), jednak nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.
    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
    Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.
    Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – w algebrze liniowej przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).

    Reklama

    Czas generowania strony: 2.328 sek.