Ekstrapolacja - matematyka

Przeczytaj także...
Prognozowanie (późnołac. prognosis, od starogr. πρόγνωσις, nowogr. πρόγνωση prōgnosis, od πρoγιγνώσκειν progignōskein, „wiedzieć wcześniej”, od pro- „wcześniej, przed” i gignōskein, „dowiedzieć się”) lub predykcja (łac. prædictus, im. od prædicere, „przepowiadać”, od præ-, „przed, wcześniej, pra-” i dicere, „mówić”) – naukowa metoda przewidywania tego, w jaki sposób będą kształtowały się w przyszłości procesy lub zdarzenia. W trakcie procesu prognozowania formułuje się sąd na temat przyszłych stanów zjawisk i zdarzeń nazywany prognozą.Metody numeryczne – metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i dobiera się ją zależnie od potrzeb.
Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Ekstrapolacja – prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego mamy dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie.

Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja.

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wyliczamy jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Ekstrapolacja iterowana Richardsona[]

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem h. Wynikiem jej działania jest F(h). Wartością dokładną jest F(0). Trudności obliczeniowe rosną gdy h maleje.

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia ( p 1 < p 2 < p 3 < . . . {\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<...} $p_{1}<p_{2}<p_{3}<...$ ) F ( h ) = a 0 + a 1 h p 1 + a 2 h p 2 + a 3 h p 3 . . . {\displaystyle F(h)=a_{0}+a_{1}h^{p_{1}}+a_{2}h^{p_{2}}+a_{3}h^{p_{3}}...} $F(h)=a_{0}+a_{1}h^{p_{1}}+a_{2}h^{p_{2}}+a_{3}h^{p_{3}}...$

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości F ( h 0 ) , F ( q − 1 h 0 ) , F ( q − 2 h 0 ) , F ( q − 3 h 0 ) . . . q > 1 {\displaystyle F(h_{0}),F(q^{-1}h_{0}),F(q^{-2}h_{0}),F(q^{-3}h_{0})...q>1} $F(h_{0}),F(q^{-1}h_{0}),F(q^{-2}h_{0}),F(q^{-3}h_{0})...q>1$

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji , którego n-ty wyraz ma rozwinięcie: F n ( h ) = a 0 + a n , n h p n + a n , n + 1 h p n + 1 + a n , n + 2 h p n + 2 . . . {\displaystyle F_{n}(h)=a_{0}+a_{n,n}h^{p_{n}}+a_{n,n+1}h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2}h^{p_{n+2}}...} $F_{n}(h)=a_{0}+a_{n,n}h^{p_{n}}+a_{n,n+1}h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2}h^{p_{n+2}}...$

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa h 0 {\displaystyle h_{0}} $h_{0}$ i liczba q>1, stosuje się wzór rekurencyjny: A m , 0 = F ( q − m h 0 ) {\displaystyle A_{m,0}=F(q^{-m}h_{0})} $A_{m,0}=F(q^{-m}h_{0})$ dla m = 0 , 1 , 2... {\displaystyle m=0,1,2...} $m=0,1,2...$ A m , k = A m , k − 1 + A m , k − 1 − A m − 1 , k − 1 q p k − 1 {\displaystyle A_{m,k}=A_{m,k-1}+{\frac {A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_{k}}-1}}} $A_{m,k}=A_{m,k-1}+{\frac {A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_{k}}-1}}$ dla k = 1 , 2 , 3... {\displaystyle k=1,2,3...} $k=1,2,3...$ F n ( h 0 ) = A n − 1 , n − 1 {\displaystyle F_{n}(h_{0})=A_{n-1,n-1}} $F_{n}(h_{0})=A_{n-1,n-1}$ dla n = 2 , 3 , 4... {\displaystyle n=2,3,4...} $n=2,3,4...$

Zastosowanie do różniczkowania numerycznego[]

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+...

Różnica progresywna D p ( h ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h = f ′ ( x 0 ) + h 2 ! f ″ ( x 0 ) + h 2 3 ! f ( 3 ) ( x 0 ) + . . . {\displaystyle D_{p}(h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})+{\frac {h}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{2}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+...} $D_{p}(h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})+{\frac {h}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{2}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+...$ p 1 = 1 , p 2 = 2 , p 3 = 3 , . . . {\displaystyle p_{1}=1,p_{2}=2,p_{3}=3,...} $p_{1}=1,p_{2}=2,p_{3}=3,...$

Zobacz też[]

ekstrapolacja trendów

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)