Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Ekstrapolacja – prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego mamy dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie.

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wyliczamy jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Ekstrapolacja iterowana Richardsona[ | edytuj kod]

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem h . {\displaystyle h.} Wynikiem jej działania jest F ( h ) . {\displaystyle F(h).} Z wartością dokładną mamy do czynienia tylko, jeśli h = 0 {\displaystyle h=0} . Trudności obliczeniowe rosną gdy h {\displaystyle h} maleje. Metoda ta była jedną z idei kluczowych algorytmu Bulirscha-Stoera.

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia ( p 1 < p 2 < p 3 < … ) {\displaystyle (p_{1}<p_{2}<p_{3}<\dots )} F ( h ) = a 0 + a 1 h p 1 + a 2 h p 2 + a 3 h p 3 … {\displaystyle F(h)=a_{0}+a_{1}h^{p_{1}}+a_{2}h^{p_{2}}+a_{3}h^{p_{3}}\dots }

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości F ( h 0 ) , F ( q − 1 h 0 ) , F ( q − 2 h 0 ) , F ( q − 3 h 0 ) … q > 1 {\displaystyle F(h_{0}),F(q^{-1}h_{0}),F(q^{-2}h_{0}),F(q^{-3}h_{0})\dots q>1}

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji, którego n-ty wyraz ma rozwinięcie: F n ( h ) = a 0 + a n , n h p n + a n , n + 1 h p n + 1 + a n , n + 2 h p n + 2 … {\displaystyle F_{n}(h)=a_{0}+a_{n,n}h^{p_{n}}+a_{n,n+1}h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2}h^{p_{n+2}}\dots }

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa h 0 {\displaystyle h_{0}} i liczba q > 1 , {\displaystyle q>1,} stosuje się wzór rekurencyjny: A m , 0 = F ( q − m h 0 ) {\displaystyle A_{m,0}=F(q^{-m}h_{0})} dla m = 0 , 1 , 2 … {\displaystyle m=0,1,2\dots } A m , k = A m , k − 1 + A m , k − 1 − A m − 1 , k − 1 q p k − 1 {\displaystyle A_{m,k}=A_{m,k-1}+{\frac {A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_{k}}-1}}} dla k = 1 , 2 , 3 … {\displaystyle k=1,2,3\dots } F n ( h 0 ) = A n − 1 , n − 1 {\displaystyle F_{n}(h_{0})=A_{n-1,n-1}} dla n = 2 , 3 , 4 … {\displaystyle n=2,3,4\dots }

Zastosowanie do różniczkowania numerycznego[ | edytuj kod]

f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + h f ′ ( x 0 ) + h 2 2 ! f ″ ( x 0 ) + h 3 3 ! f ( 3 ) ( x 0 ) + … {\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+\dots }

Różnica progresywna D p ( h ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h = f ′ ( x 0 ) + h 2 ! f ″ ( x 0 ) + h 2 3 ! f ( 3 ) ( x 0 ) + … {\displaystyle D_{p}(h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})+{\frac {h}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{2}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+\dots } p 1 = 1 , p 2 = 2 , p 3 = 3 , … {\displaystyle p_{1}=1,p_{2}=2,p_{3}=3,\dots }

Zobacz też[ | edytuj kod]

Przypisy[ | edytuj kod]