• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Dzielnik



    Podstrony: [1] 2 [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.
    Własności i dalsze definicje[ | edytuj kod]

    Prawdziwe są następujące reguły:

  • Jeżeli i to Więcej, dla dowolnych liczb całkowitych oraz
  • Jeżeli i to co oznacza, że podzielność jest przechodnia.
  • Jeżeli i to lub
  • Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Swoisty wyjątek stanowi tutaj liczba zero, ponieważ dzielenie jej przez nią samą oraz liczbę do niej przeciwną (czyli w obu przypadkach przez zero) zostało uznane przez matematyków za działanie o nieoznaczonym wyniku (patrz: Dzielenie przez zero). Dzielniki liczby nazywa się dzielnikami trywialnymi, wszystkie pozostałe nazywa się z kolei nietrywialnymi; liczby mające dzielniki nietrywialne nazywa się liczbami złożonymi, zaś te, które nie mają nietrywialnych dzielników nazywa się liczbami pierwszymi. Dzielnikiem właściwym liczby nazywa się każdy jej dodatni dzielnik, który jest od niej różny.

    Liczba przeciwna do danej liczby a , {displaystyle a,;} to taka liczba − a , {displaystyle -a,;} że zachodzi:Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych).

    Podwielokrotnością liczby nazywa się każdą taką liczbę dla której jest liczbą naturalną, w ten sposób jest wielokrotnością W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.

    Funkcja σ (sigma) określona jest dla wszystkich liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników liczby, np.Twierdzenie o dzieleniu z resztą – twierdzenie matematyczne mówiące o możliwości przedstawienia danej liczby całkowitej, dzielnej, w postaci sumy iloczynu ilorazu przez (niezerowy) dzielnik oraz reszty. Innymi słowy twierdzenie mówi, ile razy (iloraz) dana liczba (dzielnik) mieści się w całości w innej (dzielna) oraz jaka część (reszta) tej liczby nie została wydzielona. Stosuje się także skróconą wersję nazwy: twierdzenie o dzieleniu.

    Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:

  • iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
  • dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).
  • Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja (zob. funkcja τ; stosuje się również oznaczenia oraz ), z kolei suma dzielników danej liczby wyznaczona jest za pomocą funkcji (zob. funkcja σ).

    Arytmetyka (łac. arithmetica, gr. αριθμητική arithmētikē, od αριθμητικός arithmētikos – arytmetyczna, od αριθμειν arithmein – liczyć, od αριθμός arithmós – liczba; spokr. ze staroang. rīm – liczba, i być z gr. αραρισκειν arariskein – pasować) – jedna z najstarszych część matematyki. W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na liczbach (arytmetyka elementarna).Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Przykłady[ | edytuj kod]

    Liczba dzieli liczbę ponieważ

    Dzielniki liczby należą do zbioru przy czym są dzielnikami trywialnymi, zaś są nietrywialne. Liczba ma cztery dzielniki dodatnie, zatem ich suma wynosi dlatego

    Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.Teoria pierścieni – dział algebry zajmujący się badaniem pierścieni. Znajduje on szerokie zastosowanie w innych obszarach matematyki, między innymi w teorii liczb i geometrii algebraicznej.


    Podstrony: [1] 2 [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Funkcja τ – funkcja w teorii liczb równa funkcji σ stopnia zerowego. Wartość tej funkcji oznacza liczbę podzielników argumentu
    Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.
    Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
    Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.
    Element odwracalny – dla danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego określonego w pewnej strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego odwrotny względem tego działania.
    Dzielnik zera – element a {displaystyle a} pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element b {displaystyle b} spełniający a b = 0 {displaystyle ab=0} .
    Cecha podzielności – metoda umożliwiająca stwierdzenie, czy dana liczba jest podzielna bez reszty przez inną. Są one narzędziami pomocniczymi ułatwiającymi sprawdzenie czynników liczby bez uciekania się do dzielenia. Choć podobne reguły mogą być one ułożone dla dowolnej podstawy, to niżej zawarto tylko reguły dotyczące systemu dziesiętnego.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.989 sek.