• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Dzielenie przez zero

    Przeczytaj także...
    Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną. R {displaystyle R} jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy R ∗ = R ∖ { 0 } {displaystyle R^{*}=Rsetminus {0}} ; w przeciwnym razie zbiór R ∗ {displaystyle R^{*}} jest mniejszy, np. Z ∗ = { 1 , − 1 } {displaystyle mathbb {Z} ^{*}={1,-1}} ;
    Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.

    Dzielenie przez zerodzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu liczbowego, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

    Prostym przykładem błędu wynikłego z dzielenia przez zero jest następujący:
    Niech i wówczas skoro to również oraz a ze wzoru na różnicę kwadratów jest Dzieląc stronami przez uzyskuje się

    Dzielnik zera – element a {displaystyle a} pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element b {displaystyle b} spełniający a b = 0 {displaystyle ab=0} .Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów rozwijających wyrażenia postaci ( a ± b ) n ,   ( a ± b ± … ) n {displaystyle (apm b)^{n}, (apm bpm ldots )^{n}} oraz a n ± b n {displaystyle a^{n}pm b^{n}} gdzie n {displaystyle n;} jest liczbą naturalną.

    co jest równoważne a więc skąd
    Otrzymana sprzeczność wynika z zastosowania dzielenia przez .

    Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z nich nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.Twierdzenie Stolza (zwane czasem twierdzeniem Stolza-Cesàro) to twierdzenie mówiące o zbieżności pewnych ciągów rzeczywistych. Nazwane imionami matematyków Otto Stolza i Ernesto Cesàro.

    Wyjaśnienie[]

    W grupie abelowej G z działaniem '' każde równanie postaci

    ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tym samym w grupie G zdefiniowane jest funkcja, która każdej parze elementów a,b∈G przypisuje dokładne jeden element oznaczany . Jest to więc działanie odwrotne względem '' nazywane dzieleniem (w terminologii addytywnej - odejmowaniem).

    Symbol bądź wyrażenie nieoznaczone – wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji. Zalicza się do nich:Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

    Jeśli grupa G jest grupą multiplikatywną pewnego ciała K, to tym samym zdefiniowane jest dzielenie w zbiorze elementów niezerowych ciała K.

    Próba rozszerzenia dziedziny tego działania na wszystkie elementy ciała prowadzi do prób rozwiązania następujących równań:


  • Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie x=0. Jeśli zamiast ciała mamy pierścień z dzielnikami zera i b jest takim niezerowym dzielnikiem zera, to rozwiązaniem tego równania jest pewien niezerowy dzielnik zera, czyli rozwiązań jest więcej niż jedno.

  • Równanie to jest sprzeczne, bo w dowolnym ciele (ogólniej - w dowolnym pierścieniu) zachodzi 0·x=0 dla każdego x∈K

  • Równanie to jest nieoznaczone tzn. jest spełnione dla każdego element ciała (ogólniej – każdego elementu pierścienia)
  • W efekcie w każdym ciele jedynie wyrażenie postaci dla b≠0 ma dokładnie jedną, konkretną wartość, w szczególności dla dowolnego b≠0. Dołączenie warunku , b≠0 do definicji dzielenia nie prowadzi jednak do rozciągnięcia definicji dzielenia na zerowe liczniki, bowiem dziedzina działania dwuargumentowego musi być identyczna dla każdego argumentu.

    Grupa przemienna (abelowa) – grupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo, w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny.

    Natomiast wyrażeniu , a≠0 nie można przypisać żadnej wartości, a wyrażeniu odpowiadałaby dowolna wartość. I oba przypadki nie spełniają warunków definicji działania.

    Oznaczenia[]

    Choć symbol dla dowolnego również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów, czy granic funkcji. Jeśli jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest (w zależności od znaku tej liczby). Symbol oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji − reguła de l’Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

    Zobacz też[]

  • dzielnik zera



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.035 sek.