• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Drzewo - matematyka



    Podstrony: [1] 2 [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Kodowanie Huffmana (ang. Huffman coding) – jedna z najprostszych i łatwych w implementacji metod kompresji bezstratnej. Została opracowana w 1952 roku przez Amerykanina Davida Huffmana.Teoria grafów to dział matematyki i informatyki zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.
    Terminologia[ | edytuj kod]

    Drzewo, w którym jest wyróżniony jeden z wierzchołków nazywamy drzewem ukorzenionym, a wyróżniony wierzchołek – korzeniem.

    Na takim drzewie możemy również określić relacje „rodzinne” pomiędzy wierzchołkami.

    Dla dowolnej ścieżki prostej rozpoczynającej się od korzenia i zawierającej wierzchołek v:

  • wierzchołki występujące w ścieżce przed v nazywamy jego przodkami v, a wierzchołki występujące po vpotomkami,
  • wierzchołek bezpośrednio przed v nazywamy rodzicem lub ojcem, a bezpośrednio po – dzieckiem lub synem,
  • wierzchołki mające wspólnego ojca nazywamy braćmi.
  • Wierzchołki, które nie mają synów nazywamy liśćmi drzewa.

    B-drzewo – drzewiasta struktura danych, przechowująca klucze w pewnym porządku i powiązane z nimi dane, używana przede wszystkim w systemach baz danych. Popularniejsze w zastosowaniach bazodanowych i systemach plików są B+drzewa, które są szczególnym przypadkiem B-drzew, przechowującym dane tylko w liściach.Drzewo – w informatyce to struktura danych reprezentująca drzewo matematyczne. W naturalny sposób reprezentuje hierarchię danych (obiektów fizycznych i abstrakcyjnych, pojęć, itp.) jest więc stosowane głównie do tego celu. Drzewa ułatwiają i przyspieszają wyszukiwanie, a także pozwalają w łatwy sposób operować na posortowanych danych.

    Najdłuższą ścieżkę w drzewie nazywamy średnicą drzewa. Jej długość liczymy stosując programowanie dynamiczne.

    W informatyce bardzo często wymaga się, żeby synowie tworzyli nie zbiór, lecz listę uporządkowaną. Taki twór co prawda nie jest matematycznie grafem, jednak ma ogromne znaczenie w tej dziedzinie matematyki.

    Graf prosty, acykliczny i niespójny, który można traktować jako zbiór drzew, nazywa się lasem.

    Drzewo decyzyjne – graficzna metoda wspomagania procesu decyzyjnego, stosowana w teorii decyzji. Algorytm drzew decyzyjnych jest również stosowany w uczeniu maszynowym do pozyskiwania wiedzy na podstawie przykładów.Graf planarny – graf, który można narysować na płaszczyźnie tak, by krzywe obrazujące krawędzie grafu nie przecinały się ze sobą. Odwzorowanie grafu planarnego na płaszczyznę o tej własności nazywane jest jego rysunkiem płaskim. Graf planarny o zbiorze wierzchołków i krawędzi zdefiniowanym poprzez rysunek płaski nazywany jest grafem płaskim.

    Podstawowe operacje na drzewach to:

  • wyliczenie wszystkich elementów drzewa,
  • wyszukanie konkretnego elementu,
  • dodanie nowego elementu w określonym miejscu drzewa,
  • usunięcie elementu.
  • Zastosowanie drzew[ | edytuj kod]

    Diagramy zależności[ | edytuj kod]

    W naturalny sposób reprezentują hierarchię danych (obiektów fizycznych i abstrakcyjnych, pojęć itp.) lub zależności typu klient-serwer.

    Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja po prawej stronie). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów. Za pierwszego teoretyka i badacza grafów uważa się Leonarda Eulera, który rozstrzygnął zagadnienie mostów królewieckich.Rachunek lambda – system formalny używany do badania zagadnień związanych z podstawami matematyki jak rekurencja, definiowalność funkcji, obliczalność, podstawy matematyki np. definicja liczb naturalnych, wartości logicznych itd. Rachunek lambda został wprowadzony przez Alonzo Churcha i Stephena Cole’a Kleene’ego w 1930 roku.

    Struktury danych[ | edytuj kod]

    W informatyce wiele struktur danych jest konkretną realizacją drzewa matematycznego. Wierzchołki drzewa reprezentują konkretne dane (liczby, napisy albo bardziej złożone struktury danych). Odpowiednie ułożenie danych w drzewie może ułatwić i przyspieszyć ich wyszukiwanie. Znaczenie tych struktur jest bardzo duże i ze względu na swoje własności drzewa są stosowane praktycznie w każdej dziedzinie informatyki (np. algorytmika, kryptografia, bazy danych, grafika komputerowa, przetwarzanie tekstu, telekomunikacja).

    Drzewo AVL, nazywane również drzewem dopuszczalnym – zrównoważone binarne drzewo poszukiwań (BST), w którym wysokość lewego i prawego poddrzewa każdego węzła różni się co najwyżej o jeden. Nazwa AVL pochodzi od nazwisk rosyjskich matematyków: Adelsona-Velskiego oraz Landisa (właściwie: Gieorgij Adelson-Wielskij i Jewgienij Łandis), którzy zaproponowali rozwiązanie problemu utrzymania dobrego drzewa wyszukiwań w roku 1962.Algorytmika to nauka o algorytmach. Jest działem informatyki, cybernetyki, a także, dla większości nauk matematyczno-przyrodniczych, ekonomii i techniki. Algorytmika zajmuje się badaniem algorytmów. Częścią algorytmiki jest algorytmizacja, czyli proces budowy konkretnego algorytmu.

    Specjalne znaczenie w informatyce mają drzewa binarne (liczba dzieci ograniczona do dwóch) i ich różne odmiany, np. drzewa AVL, drzewa czerwono-czarne, BST; drzewa które posiadają więcej niż dwoje dzieci są nazywane drzewami wyższych rzędów.

    Zapoznaj się również z: Kopiec, Kodowanie Huffmana

    Inne[ | edytuj kod]

    Jako drzewa przedstawia się składnie języków formalnych, w tym rachunku lambda. W teorii gier występują drzewa decyzyjne. Bazy danych i systemy plików stosują wiele algorytmów opartych na drzewach i specjalnych postaciach drzew takich jak drzewa binarne, B drzewa, B+ drzewa, drzewa AVL i inne.

    Las - graf, którego każdy spójny podgraf jest drzewem. Równoważnie można zdefiniować las po prostu jako acykliczny graf nieskierowany (czyli nie zawierający żadnych cykli). Wtedy jego spójne składowe są drzewami.Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.

    Własności drzew[ | edytuj kod]

    W grafie gdzie to zbiór wierzchołków grafu, a to zbiór krawędzi. Następujące warunki są równoważne:

    Struktura danych (ang. data structure) - sposób uporządkowania informacji w komputerze. Na strukturach danych operują algorytmy.MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).
    1. jest drzewem
    2. dla każdych dwóch wierzchołków w grafie istnieje dokładnie jedna uv-ścieżka
    3. jest spójny i
    4. jest acykliczny i

    W drzewie ukorzenionym istnieje dokładnie jedna ścieżka pomiędzy węzłem a korzeniem. Liczba krawędzi w ścieżce jest nazywana długością (lub głębokością) – liczba o jeden większa określa poziom węzła. Z kolei wysokość drzewa jest równa wysokości jego korzenia, czyli długości najdłuższej ścieżki prostej od korzenia do liścia.

    Biblioteka Narodowa Izraela (hebr. הספרייה הלאומית; dawniej: Żydowska Biblioteka Narodowa i Uniwersytecka, hebr. בית הספרים הלאומי והאוניברסיטאי) – izraelska biblioteka narodowa w Jerozolimie.Kopiec (ang. heap, tłumaczone też jako stóg lub sterta) – w informatyce struktura danych oparta na drzewie, w której wartości potomków węzła są w stałej relacji z wartością rodzica (na przykład wartość rodzica jest nie mniejsza niż wartości jego potomka).

    Liczba oznaczonych drzew o wierzchołkach wynosi:

    Formuła ta nosi nazwę wzoru Cayleya.

    Liczba drzew na zbiorze -wierzchołków (gdzie jest większe bądź równe 2), z których każdy ma stopień a suma stopni to wynosi:

    Library of Congress Control Number (LCCN) – numer nadawany elementom skatalogowanym przez Bibliotekę Kongresu wykorzystywany przez amerykańskie biblioteki do wyszukiwania rekordów bibliograficznych w bazach danych i zamawiania kart katalogowych w Bibliotece Kongresu lub u innych komercyjnych dostawców. Thomas H. Cormen – amerykański informatyk związany z Dartmouth College. Doktorat obronił w Massachusetts Institute of Technology w 1992 roku. Znany jest głównie jako współautor książki Wprowadzenie do algorytmów nazywanej popularnie „Cormenem”.
    Język formalny – jest to podzbiór zbioru wszystkich słów nad skończonym alfabetem. Język formalny jest kluczowym pojęciem w informatyce, logice matematycznej i językoznawstwie. Język formalny nie jest uściśleniem pojęcia języka naturalnego i nie powinien być z nim mylony.Informatyka – dyscyplina nauki zaliczana do nauk ścisłych oraz techniki zajmująca się przetwarzaniem informacji, w tym również technologiami przetwarzania informacji oraz technologiami wytwarzania systemów przetwarzających informację. Początkowo stanowiła część matematyki, później rozwinęła się do odrębnej dyscypliny – pozostaje jednak nadal w ścisłej relacji z matematyką, która dostarcza informatyce podstaw teoretycznych.


    Podstrony: [1] 2 [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Graf prosty - graf bez pętli własnych i krawędzi wielokrotnych. Często określenie graf (bez przymiotników) oznacza graf prosty.
    Programowanie dynamiczne jest techniką lub strategią projektowania algorytmów, stosowaną przeważnie do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych. Jest alternatywą dla niektórych zagadnień rozwiązywanych za pomocą algorytmów zachłannych. Wynalazcą techniki jest amerykański matematyk Richard Bellman, uhonorowany za to odkrycie medalem IEEE (ang. medal of honour) w 1979 roku.
    System plików – metoda przechowywania plików, zarządzania plikami, informacjami o tych plikach, tak by dostęp do plików i danych w nich zgromadzonych był łatwy dla użytkownika systemu; także: wolumin.
    Baza danych – zbiór danych zapisanych zgodnie z określonymi regułami. W węższym znaczeniu obejmuje dane cyfrowe gromadzone zgodnie z zasadami przyjętymi dla danego programu komputerowego specjalizowanego do gromadzenia i przetwarzania tych danych. Program taki (często pakiet programów) nazywany jest „systemem zarządzania bazą danych” (ang. database management system, DBMS).
    Grafika komputerowa – dziedzina informatyki zajmująca się wykorzystaniem technik komputerowych do celów wizualizacji artystycznej oraz wizualizacji rzeczywistości. Grafika komputerowa jest obecnie narzędziem powszechnie stosowanym w nauce, technice oraz rozrywce.
    Klient-serwer ((ang.) client/server, client-server model) – architektura systemu komputerowego, w szczególności oprogramowania, umożliwiająca podział zadań (ról). Polega to na ustaleniu, że serwer zapewnia usługi dla klientów, zgłaszających do serwera żądania obsługi ((ang.) service request).
    Algorytm – w matematyce skończony ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań. Słowo "algorytm" pochodzi od starego angielskiego słowa algorism, oznaczającego wykonywanie działań przy pomocy liczb arabskich (w odróżnieniu od abacism – przy pomocy abakusa), które z kolei wzięło się od nazwiska, które nosił Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي), matematyk perski z IX wieku.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.991 sek.