• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Diagram Schlegela

    Przeczytaj także...
    Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.Rzut – odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną powierzchnię zwaną rzutnią, które każdemu punktowi x {displaystyle x,} przestrzeni przypisuje punkt przecięcia się z rzutnią pewnej prostej z danej rodziny prostych rzutujących przechodzącej przez punkt x {displaystyle x,} .
    Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
    Diagramy Schlegela wielościanów: Tetrahedron - czworościan foremny, Octahedron - Ośmiościan foremny, Hexahedron - Sześcian, Square pyramid - Ostrosłup prawidłowy czworokątny, Icosahedron - Dwudziestościan foremny, Dodekahedron - Dwunastościan foremny

    Diagram Schlegela wielościanu wypukłego - obraz brzegu wielościanu w rzucie środkowym o środku S na płaszczyznę , gdzie:

    Harold Scott MacDonald "Donald" Coxeter (ur. 9 lutego 1907 w Londynie, zm. 31 marca 2003 w Toronto) – matematyk, uważany za jednego z najwybitniejszych specjalistów XX wieku w dziedzinie geometrii, większość życia spędził w Kanadzie. Przez 60 lat pracował na Uniwersytecie Toronto, opublikował 12 książek. Otrzymał najwyższy stopień orderu Kanady - Companion.Rzut stereograficzny lub odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie geometryczne, rzut środkowy sfery na płaszczyznę, w którym środkiem rzutu jest punkt sfery, zaś rzutnia jest styczna do sfery w antypodzie środka rzutu.
    1. Płaszczyzna jest równoległa do jednej ze ścian wielościanu i leży po tej samej stronie płaszczyzny zawierającej ścianę
    2. Środek rzutowania S znajduje się w takiej odległości od ściany , że rzuty wszystkich ścian wielościanu są zawarte w rzucie .

    W przypadku wielościanu foremnego punkt rzutowania umieszcza się zwykle nad środkiem ściany, odpowiednio blisko jej.

    Ściana – w stereometrii ściana powierzchni wielościennej albo wielościanu to jeden z wielokątów, które tworzą jej/jego brzeg.Powierzchnia wielościenna - brzeg wielościanu, czyli powierzchnia utworzona z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów.

    Podstawowa własność diagramu Schlegela. Rzuty wszystkich ścian wielościanu poza wypełniają rzut ściany , a rzuty poszczególnych ścian mają wspólny wierzchołek lub wspólny bok wtedy i tylko wtedy, gdy same ściany wielościanu mają tę własność.

    Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) – matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.

    Korzystając z powyższej własności, można opisać diagram Schlegela wielościanu w sposób następujący: Jest to zbiór wielokątów wypukłych odpowiadających (wszystkim) ścianom wielościanu o następujących własnościach:

    Krawędź wielościanu to odcinek łączący dwa jego wierzchołki, będący równocześnie wspólnym bokiem (brzegiem) co najmniej dwóch jego ścian.
    1. Dla każdego wielokąt ma tyle samo boków, co ściana .
    2. Suma mnogościowa wielokątów jest równa wielokątowi .
    3. Dwa wielokąty mają wspólny wierzchołek (wspólną ścianę) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im ściany mają wspólny wierzchołek (wspólną krawędź)

    Konstrukcja diagramu Schlegela wielościanu zwykłego[]

    W deformacji (homeomorfizmie) przekształcającej wielościan zwykły na kulę powierzchnia wielościanu jest przekształcana na sferę. Przy czym wierzchołki wielościanu są przekształcane na wierzchołki, a krawędzie na łuki położone na sferze. Ściany są w deformacji przekształcane na obszary , które można uznać za wielokąty krzywoliniowe, a krawędzie i wierzchołki każdej ściany są przekształcane na łuki, których sumy tworzą brzeg odpowiadającego jej obszaru. Niech X będzie dowolnie wybranym punktem obszaru . Rzuty stereograficzne wielokątów krzywoliniowych to wielokąty krzywoliniowe , których suma domknięć ma brzeg równy brzegowi obrazu obszaru . Otrzymany układ wielokątów krzywoliniowych tworzy diagram Schlegela wielościanu zwykłego.

    Przypisy

    1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 169.
    2. Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. Warszawa: PWN, 1956, s. 137-138.
    3. Łukiem tym jest obraz homeomorficzny odcinka jednostkowego na sferze.

    Bibliografia[]

  • Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. Warszawa: PWN, 1956.
  • Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Loeb A. L.: Space Structures. Addison-Wesley, 1976.



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama