• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Delta Diraca

    Przeczytaj także...
    Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.
    Splot, splot całkowy, mnożenie splotowe lub konwolucja (ang. convolution: od convolute, „skręcać, zwijać”; z łac. convolutus, im. od convolvere, od com-, „z, razem; całkowicie, gruntownie, dokładnie” i volvere, „zawijać”) – w matematyce oraz technice, działanie określone dla dwóch funkcji (lub opisywanych przez nie sygnałów) dające w wyniku inną, która może być postrzegana jako zmodyfikowana wersja oryginalnych funkcji. Nazwą tą nazywa się również wynik tego działania, które bywa nazywane także iloczynem (lub produktem) splotowym. Splot podobny jest do korelacji wzajemnej. Znajduje zastosowania także m.in. w statystyce, równaniach różniczkowych, elektrotechnice, cyfrowym przetwarzaniu obrazów czy sygnałów – na przykład, w przetwarzaniu obrazów operacja splotu obrazu źródłowego z odpowiednio skonstruowanym filtrem pozwala na wykrycie krawędzi (np. filtr Sobela), rozmycie obrazu (np. filtr Gaussa) oraz pozwala na ekstrakcję cech kształtów przy rozpoznawaniu wzorców obiektów w obrazie (falki Gabora), jak i wielu innych.
    Wykres funkcji delta Diraca. Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla x0 = 0. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożoną przez funkcję.

    Delta Diracadystrybucja, czyli funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni funkcji próbnych, tzn. wszystkich funkcji klasy o zwartych nośnikach, dany wzorem

    Rozkład jednopunktowy – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa skoncentrowany w jednym punkcie przestrzeni. Można go zdefiniować jako rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje dokładnie jedną wartość prawie na pewno.Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.

    dla każdej funkcji . Delta Diraca nie jest dystrybucją regularną.

    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.Statyka – drugi po kinetyce dział dynamiki (będącej działem mechaniki), zajmujący się równowagą układów sił działających na ciało pozostające w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. W przeciwieństwie do kinetyki, statyka zajmuje się zrównoważonymi układami, w których nie powstają siły bezwładności.

    Obiekt ten wprowadził brytyjski fizyk teoretyk Paul Dirac. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, tzn. jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a i pochodną funkcji skokowej Heaviside'a.

    Rozkład Cauchy’ego (zwany również w optyce rozkładem Lorentza a w fizyce jądrowej rozkładem Breita-Wignera) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.Fizyka teoretyczna – sposób uprawiania fizyki polegający na matematycznym opisie praw przyrody, tworzeniu i rozwijaniu teorii, z których wnioski mogą być sprawdzone doświadczalnie. Przykładem jest fizyka matematyczna opisująca zjawiska i teorie fizyczne korzystając z rozwiniętej aksjomatyki matematycznej i obiektów zdefiniowanych w podobny sposób, jak np. rozmaitości.

    Reprezentacje[]

    Funkcja impulsowa[]

    Delta Diraca jako granica funkcji Gaussa: , gdzie

    Delta Diraca (albo funkcja impulsowa) – intuicyjnie, obiekt matematyczny o następujących własnościach:

    Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych, przestrzeń próbek losowych) - to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego; wyniki te nazywa się zdarzeniami elementarnymi.Całka oznaczona – w matematyce, w zależności od kontekstu, synonim nazwy "całka Riemanna" albo ogólniej: określenie odnoszące się do tych pojęć całki, dla których zachodzi pewna wersja wzoru Newtona-Leibniza, jak na przykład:

    którego „powierzchnia pod krzywą” jest znormalizowana do 1, czyli wartość całki tej funkcji wynosi:

    Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.Elektronika – dziedzina techniki i nauki zajmująca się obwodami elektrycznymi zawierającymi, obok elementów elektronicznych biernych, elementy aktywne takie jak lampy próżniowe, tranzystory i diody. W obwodach takich można wzmacniać słabe sygnały dzięki nieliniowym charakterystykom elementów czynnych (i ich możliwościom sterowania przepływem elektronów). Podobnie możliwość pracy urządzeń jako przełączniki pozwala na przetwarzanie sygnałów cyfrowych.

    Można udowodnić, że funkcja (w sensie matematycznym) o zadanych własnościach nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją musiałaby być ona zerowa poza zbiorem miary Lebesgue'a 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0.

    Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: dla drgań mechanicznych jednostką może być metr, jednostka gęstości lub ciśnienia (np. dla fali podłużnej); dla fali elektromagnetycznej tą jednostką będzie V/m.

    Mimo sugestywnej i użytecznej notacji należy podkreślić, że nie jest to funkcja o wartościach rzeczywistych. Matematycznie określa się deltę Diraca jako miarę albo jako dystrybucję, czyli funkcjonał liniowy określony na odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej. Warto podkreślić, że spełnienie warunku normalizacji wymaga w szczególności rozszerzenia definicji całki z funkcji rzeczywistej.

    Teoria dystrybucji – dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych powstały w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadniczą ideą tej teorii jest pewne uogólnienie pojęcia funkcji (rzeczywistej) nazywane właśnie dystrybucją, które z punktu widzenia wyjściowej teorii nie ma własności przynależnych dobrze określonym funkcjom (np. na ogół dystrybucje nie mają „wartości w punkcie”), to z drugiej strony mają one doskonałe własności analityczne, m.in. mają pochodne dowolnego rzędu. Operowanie tego rodzaju obiektami odbiega od klasycznego, częstokroć korzysta się z transformaty Fouriera, czy splotu. Metody dystrybucyjne znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych dając opis uogólnionych ich rozwiązań; dzięki temu doskonale nadają się one do opisu wielu skomplikowanych układów fizycznych.Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

    Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili , o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

    Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – pojęcie teorii miary formalizujące i uogólniające intuicje związane z takimi pojęciami (w zależności od wymiaru) jak długość, pole powierzchni czy objętość bryły. Historycznie pojęcie miary (nazywanej dziś miarą Lebesgue’a) pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż przedziały domknięte (tzw. całka Lebesgue’a).Paul Adrien Maurice Dirac (ur. 8 sierpnia 1902 w Bristolu, zm. 20 października 1984 w Tallahassee) – angielski fizyk teoretyk.

    Granica funkcji[]

    Deltę Diraca można reprezentować jako granicę funkcji : ,

    gdzie może być wyrażona na wiele sposobów, np.:

  • rodzina funkcji prostokątnych:
  • rodzina funkcji Gaussa: ,
  • rodzina funkcji Lorentza: .
  • Rozkład gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej[]

     Zapoznaj się również z: rozkład jednopunktowy.

    Deltę Diraca można też uważać za funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej zwanej zmienną „pewną” (tzn. takiej, której realizacja jest zawsze taka sama). Inaczej mówiąc każdy rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej przechodzi w granicy do rozkładu typu delty Diraca, kiedy jego wariancja zmierza do zera: ,

    gdzie jest wartością oczekiwaną (wartością średnią) i zarazem jedyną możliwą realizacją zmiennej losowej . W takim przypadku funkcję skokową Heaviside'a można uważać za dystrybuantę delty Diraca.

    Własności[]

    Wprost z definicji delty Diraca wynika wiele ważnych własności matematycznych. Najważniejsze z nich to: – własność przesiewania, , gdzie oznacza splot, , , , .




    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.055 sek.