Delta Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Delta Diraca – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka teoretycznego Paula Diraca. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a i pochodną (w sensie dystrybucji) funkcji skokowej Heaviside’a. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako miarę, lub jako dystrybucję.

Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.Statyka – drugi po kinetyce dział dynamiki (będącej działem mechaniki), zajmujący się równowagą układów sił działających na ciało pozostające w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. W przeciwieństwie do kinetyki, statyka zajmuje się zrównoważonymi układami, w których nie powstają siły bezwładności.

Definicje[ | edytuj kod]

Definicja nieformalna[ | edytuj kod]

Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję taką, że:

Fizyka teoretyczna – sposób uprawiania fizyki polegający na matematycznym opisie praw przyrody, tworzeniu i rozwijaniu teorii, z których wnioski mogą być sprawdzone doświadczalnie. Przykładem jest fizyka matematyczna opisująca zjawiska i teorie fizyczne korzystając z rozwiniętej aksjomatyki matematycznej i obiektów zdefiniowanych w podobny sposób, jak np. rozmaitości.Całka Lebesgue’a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.

oraz

Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.Elektronika – dziedzina techniki i nauki zajmująca się obwodami elektrycznymi zawierającymi, obok elementów elektronicznych biernych, elementy aktywne takie jak lampy próżniowe, tranzystory i diody. W obwodach takich można wzmacniać słabe sygnały dzięki nieliniowym charakterystykom elementów czynnych (i ich możliwościom sterowania przepływem elektronów). Podobnie możliwość pracy urządzeń jako przełączniki pozwala na przetwarzanie sygnałów cyfrowych.
.

W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją całka z takiej funkcji musiałaby być równa 0 (np. całka Lebesgue’a – punkt x=0 jest zbiorem miary Lebesgue’a równym 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0). Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna w ramach teorii zwykłych funkcji.

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: dla drgań mechanicznych jednostką może być metr, jednostka gęstości lub ciśnienia (np. dla fali podłużnej); dla fali elektromagnetycznej tą jednostką będzie V/m.

Delta Diraca jako dystrybucja[ | edytuj kod]

Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako dystrybucję tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem:

Teoria dystrybucji – dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych powstały w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadniczą ideą tej teorii jest pewne uogólnienie pojęcia funkcji (rzeczywistej) nazywane właśnie dystrybucją, które z punktu widzenia wyjściowej teorii nie ma własności przynależnych dobrze określonym funkcjom (np. na ogół dystrybucje nie mają „wartości w punkcie”), to z drugiej strony mają one doskonałe własności analityczne, m.in. mają pochodne dowolnego rzędu. Operowanie tego rodzaju obiektami odbiega od klasycznego, częstokroć korzysta się z transformaty Fouriera, czy splotu. Metody dystrybucyjne znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych dając opis uogólnionych ich rozwiązań; dzięki temu doskonale nadają się one do opisu wielu skomplikowanych układów fizycznych.Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – pojęcie teorii miary formalizujące i uogólniające intuicje związane z takimi pojęciami (w zależności od wymiaru) jak długość, pole powierzchni czy objętość bryły. Historycznie pojęcie miary (nazywanej dziś miarą Lebesgue’a) pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż przedziały domknięte (tzw. całka Lebesgue’a).
.
 Zapoznaj się również z: Teoria dystrybucji.

Delta Diraca jako miara[ | edytuj kod]

Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako miarę daną wzorem:

Paul Adrien Maurice Dirac (ur. 8 sierpnia 1902 w Bristolu, zm. 20 października 1984 w Tallahassee) – angielski fizyk teoretyk.

gdzie oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w .

Podstrony: 1 [2] [3]




Reklama