Czterowektor

Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych A α = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) {\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})} $A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})$ należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).

Czas – skalarna (w klasycznym ujęciu) wielkość fizyczna określająca kolejność zdarzeń oraz odstępy między zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu. Pojęcie to było również przedmiotem rozważań filozoficznych.Masa spoczynkowa (in. masa niezmiennicza lub po prostu masa) - wielkość fizyczna w fizyce relatywistycznej, charakteryzująca ciało bądź układ ciał, która nie zależy od układu odniesienia. W dowolnym układzie odniesienia, masa spoczynkowa jest wyznaczona przez energie i pędy wszystkich ciał. Jest to masa ciała mierzona w układzie odniesienia, w którym to ciało spoczywa.

Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.

Spis treści

1 Definicja 4-wektora kontrawariantnego

2 Definicja 4-wektora kowariantnego

3 Zasada opuszczania wskaźników 4-wektora

4 Zasada podnoszenia wskaźników 4-wektora

5 Długość 4-wektora

5.1 Klasyfikacja 4-wektorów.

6 Iloczyn skalarny czterowektorów

7 Kolejność czasowa zdarzeń. Związki przyczynowo-skutkowe

8 Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni

8.1 Definicja 4-wektora położenia

8.2 Sens fizyczny 4-wektora położenia

8.3 Własności transformacyjne 4-wektora położenia

9 Interwał czasoprzestrzenny zdarzeń

9.1 Definicja

9.2 Niezmienniczość interwału

9.3 Interwał dla światła

10 Różniczka '"`UNIQ--postMath-00000067-QINU`"' interwału czasoprzestrzennego zdarzeń

11 Czterowektor prędkości

11.1 Definicja

11.2 Tw. 1: '"`UNIQ--postMath-0000007C-QINU`"'

11.3 Tw. 2: '"`UNIQ--postMath-00000084-QINU`"'

11.4 Elementy przestrzenne 4-wektora prędkości

11.5 Element czasowy 4-wektora prędkości

11.6 Jawna postać 4-wektora prędkości

11.7 Tw. 3: Długość czterowektora prędkości wynosi 1.

11.8 Czteroprędkość jako wektor styczny do trajektorii cząstki

12 Czterowektor pędu

12.1 Definicja

12.2 Długość 4-wektora pędu

12.3 Wyrażenie 4-pędu przez energię i pęd ciała

12.4 Związek między energią, pędem i masą

13 Czterowektor siły

13.1 Definicja

13.2 Współrzędne przestrzenne czterowektora siły

13.3 Współrzędna czasowa czterowektora siły

13.4 Wyrażenie czterowektora siły przez pęd, energię i siłę

14 Czterowektor falowy

15 Czterowektor gęstości prądu

16 Zobacz też

17 Bibliografia

Definicja 4-wektora kontrawariantnego

Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów O {\displaystyle O} $O$ oraz O ′ {\displaystyle O'} $O'$ mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą być ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator O ′ {\displaystyle O'} $O'$ porusza się względem obserwatora O {\displaystyle O} $O$ z prędkością v {\displaystyle v} $v$ w kierunku osi x , {\displaystyle x,} $x,$ to związki te zadane są przez transformację Lorentza:

Gęstość prądu – intuicyjnie jest to wielkość fizyczna określająca natężenie prądu elektrycznego przypadającego na jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika.Częstotliwość (częstość) – wielkość fizyczna określająca liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali.

A ′ 0 = γ ( A 0 − v c A 1 ) , {\displaystyle A^{'0}=\gamma \left(A^{0}-{\frac {v}{c}}A^{1}\right),} $A^{'0}=\gamma \left(A^{0}-{\frac {v}{c}}A^{1}\right),$ A ′ 1 = γ ( A 1 − v c A 0 ) , {\displaystyle A^{'1}=\gamma \left(A^{1}-{\frac {v}{c}}A^{0}\right),} $A^{'1}=\gamma \left(A^{1}-{\frac {v}{c}}A^{0}\right),$ A ′ 2 = A 2 , {\displaystyle A^{'2}=A^{2},} $A^{'2}=A^{2},$ A ′ 3 = A 3 , {\displaystyle A^{'3}=A^{3},} $A^{'3}=A^{3},$

gdzie:

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.Masa relatywistyczna – wprowadzana w niektórych ujęciach szczególnej teorii względności wielkość fizyczna tożsama, z dokładnością do czynnika (czyli ze współczynnikiem proporcjonalności) c, z zerową (czasową) składową czterowektora energii-pędu (czteropędu) danego obiektu fizycznego, czyli, z dokładnością do czynnika c, z całkowitą energią relatywistyczną tego obiektu.

A α = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) {\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})} $A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})$ – wyniki pomiarów obserwatora O , {\displaystyle O,} $O,$

A ′ α = ( A ′ 0 , A ′ 1 , A ′ 2 , A ′ 3 ) {\displaystyle A^{'\alpha }=(A^{'0},A^{'1},A^{'2},A^{'3})} $A^{'\alpha }=(A^{'0},A^{'1},A^{'2},A^{'3})$ – wyniki pomiarów obserwatora O ′ , {\displaystyle O',} $O',$

γ = 1 1 − v 2 c 2 , {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},} $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},$

c {\displaystyle c} $c$ – prędkość światła (zgodnie ze Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora).

Liczbę A 0 {\displaystyle A^{0}} $A^{0}$ nazywa się współrzędną czasową.

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.Spin – moment własny pędu cząstki w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych.

Liczby A 1 , A 2 , A 3 {\displaystyle A^{1},A^{2},A^{3}} $A^{1},A^{2},A^{3}$ nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.

Wektor falowy – wektor oznaczany k → {displaystyle {overrightarrow {k}}} , wskazujący kierunek rozchodzenia się fali i zwrot promienia fali. Wartość wektora falowego k {displaystyle k} , to liczba falowa:Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907–1915, a opublikowanej w roku 1916.

Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.

Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci A α = ( A 0 , A → ) , {\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},{\vec {A}}),} $A^{\alpha }=(A^{0},{\vec {A}}),$

gdzie A → = ( A 1 , A 2 , A 3 ) = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle {\vec {A}}=(A^{1},A^{2},A^{3})=(A_{x},A_{y},A_{z})} ${\vec {A}}=(A^{1},A^{2},A^{3})=(A_{x},A_{y},A_{z})$ – wektor o współrzędnych przestrzennych.

Fale materii, fale de Broglie’a, przez autora nazwane początkowo falami fazy (l’onde de phase) – alternatywny w stosunku do klasycznego (czyli korpuskularnego) sposób opisu obiektów materialnych. Według hipotezy de Broglie’a dualizmu korpuskularno-falowego każdy obiekt materialny może być opisywany na dwa sposoby: jako zbiór cząstek albo jako fala. Obserwuje się efekty potwierdzające falową naturę materii w postaci dyfrakcji cząstek elementarnych, a nawet całych jąder atomowych. Równanie Kleina-Gordona – relatywistyczna wersja (opisująca skalarne (lub pseudoskalarne) cząstki o zerowym spinie) równania Schrödingera.

Definicja 4-wektora kowariantnego

Ponadto definiuje się czterowektor z dolnymi indeksami – nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.

Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego – patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych, tj. A α = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) {\displaystyle A_{\alpha }=(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})} $A_{\alpha }=(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})$ – wektor kowariantny

oraz

Ładunek elektryczny ciała (lub układu ciał) – fundamentalna właściwość materii przejawiająca się w oddziaływaniu elektromagnetycznym ciał obdarzonych tym ładunkiem. Ciała obdarzone ładunkiem mają zdolność wytwarzania pola elektromagnetycznego oraz oddziaływania z tym polem. Oddziaływanie ładunku z polem elektromagnetycznym jest określone przez siłę Lorentza i jest jednym z oddziaływań podstawowych.Czasoprzestrzeń – zbiór zdarzeń zlokalizowanych w przestrzeni i czasie, wyposażony w strukturę afiniczną i metryczną o określonej postaci, w zależności od analizowanego modelu fizycznej czasoprzestrzeni.

A 0 = A 0 , A 1 = − A 1 , A 2 = − A 2 , A 3 = − A 3 . {\displaystyle A_{0}=A^{0},\;A_{1}=-A^{1},\;A_{2}=-A^{2},\;A_{3}=-A^{3}.} $A_{0}=A^{0},\;A_{1}=-A^{1},\;A_{2}=-A^{2},\;A_{3}=-A^{3}.$

Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

Zasada względności głosi, że prawa fizyki w dwóch inercjalnych układach odniesienia są takie same. Odkrył ją Galileusz.Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):

A α = ( A 0 , − A → ) , {\displaystyle A_{\alpha }=(A_{0},-{\vec {A}}),} $A_{\alpha }=(A_{0},-{\vec {A}}),$

gdzie A → = ( A 1 , A 2 , A 3 ) = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle {\vec {A}}=(A^{1},A^{2},A^{3})=(A_{x},A_{y},A_{z})} ${\vec {A}}=(A^{1},A^{2},A^{3})=(A_{x},A_{y},A_{z})$ – wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.

Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]