Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych A α = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) {\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})} należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).

Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.

Definicja 4-wektora kontrawariantnego[ | edytuj kod]

Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów O {\displaystyle O} oraz O ′ {\displaystyle O'} mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą być ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator O ′ {\displaystyle O'} porusza się względem obserwatora O {\displaystyle O} z prędkością v {\displaystyle v} w kierunku osi x , {\displaystyle x,} to związki te zadane są przez transformację Lorentza:

A ′ 0 = γ ( A 0 − v c A 1 ) , {\displaystyle A^{'0}=\gamma \left(A^{0}-{\frac {v}{c}}A^{1}\right),}

A ′ 1 = γ ( A 1 − v c A 0 ) , {\displaystyle A^{'1}=\gamma \left(A^{1}-{\frac {v}{c}}A^{0}\right),}

A ′ 2 = A 2 , {\displaystyle A^{'2}=A^{2},}

A ′ 3 = A 3 , {\displaystyle A^{'3}=A^{3},}

gdzie:

A α = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) {\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})} – wyniki pomiarów obserwatora O , {\displaystyle O,}

A ′ α = ( A ′ 0 , A ′ 1 , A ′ 2 , A ′ 3 ) {\displaystyle A^{'\alpha }=(A^{'0},A^{'1},A^{'2},A^{'3})} – wyniki pomiarów obserwatora O ′ , {\displaystyle O',}

γ = 1 1 − v 2 c 2 , {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

c {\displaystyle c} – prędkość światła (zgodnie ze Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora).

Liczbę A 0 {\displaystyle A^{0}} nazywa się współrzędną czasową.

Liczby A 1 , A 2 , A 3 {\displaystyle A^{1},A^{2},A^{3}} nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.

Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.

Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci A α = ( A 0 , A → ) , {\displaystyle A^{\alpha }=(A^{0},{\vec {A}}),}

gdzie A → = ( A 1 , A 2 , A 3 ) = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle {\vec {A}}=(A^{1},A^{2},A^{3})=(A_{x},A_{y},A_{z})} – wektor o współrzędnych przestrzennych.

Definicja 4-wektora kowariantnego[ | edytuj kod]

Ponadto definiuje się czterowektor z dolnymi indeksami – nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.

Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego – patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych, tj. A α = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) {\displaystyle A_{\alpha }=(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})} – wektor kowariantny

oraz

A 0 = A 0 , A 1 = − A 1 , A 2 = − A 2 , A 3 = − A 3 . {\displaystyle A_{0}=A^{0},\;A_{1}=-A^{1},\;A_{2}=-A^{2},\;A_{3}=-A^{3}.}

Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

A α = ( A 0 , − A → ) , {\displaystyle A_{\alpha }=(A_{0},-{\vec {A}}),}

gdzie A → = ( A 1 , A 2 , A 3 ) = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle {\vec {A}}=(A^{1},A^{2},A^{3})=(A_{x},A_{y},A_{z})} – wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.