• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Czasoprzestrzeń Minkowskiego

    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Szczególna teoria względności (STW) – teoria fizyczna stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona sposób pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej. Teoria pozwoliła usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.
    Czas – skalarna (w klasycznym ujęciu) wielkość fizyczna określająca kolejność zdarzeń oraz odstępy między zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu. Pojęcie to było również przedmiotem rozważań filozoficznych.

    Czasoprzestrzeń Minkowskiegoprzestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina.

    Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.

    Ujęcie matematyczne[]

    Wektorowa czasoprzestrzeń Minkowskiego jest rzeczywistą przestrzenią wektorową zadaną przez parę złożoną z przestrzeni w której definiujemy iloczyn skalarny wektorów za pomocą tensora Minkowskiego który jest równocześnie macierzą Grama tej przestrzeni.

    Czterowektor – w algebrze tensorowej wektor kontrawariantny. Możliwa jest także konstrukcja wektorów kowariantnych za pomocą izomorfizmu muzycznego oraz tensorów o dowolnej walencji przy pomocy iloczynu tensorowego. Pierwszym elementem czterowektora jest składowa czasowa, a kolejne trzy są to współrzędne przestrzenne.Stożek czasoprzestrzenny (stożek świetlny, stożek zerowy) danego punktu czasoprzestrzeni - w teorii względności zbiór punktów czasoprzestrzeni, których odległość czasoprzestrzenna (interwał) od tego punktu wynosi zero (stąd nazwa "stożek zerowy"), co oznacza, że zdarzenie czasoprzestrzenne zachodzące w danym punkcie czasoprzestrzeni można połączyć ze zdarzeniem zachodzącym w dowolnym punkcie jego stożka czasoprzestrzennego sygnałem przesłanym z prędkością graniczną, równą prędkości światła w próżni (stąd nazwa "stożek świetlny").

    Iloczyn semi-skalarny wektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego ma następujące właściwości:

    Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
    1. dwuliniowość: dla wszystkich
    2. symetryczność:
    3. nieosobliwość: Jeśli , to

    Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności (każdy funkcjonał dodatnio określony jest niezdegenerowany, ale nie na odwrót).

    Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – w algebrze liniowej przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).W matematyce, grupa Liego to grupa, która jest zarazem gładką rozmaitością. Można na nią patrzeć jako na zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości i grupy. Przykładem grupy Liego jest grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych.

    Iloczyn zewnętrzny pozwala zdefiniować kwadrat normy wektora:

    Punkt p czasoprzestrzeni utożsamia się z wektorem o czterech współrzędnych

    W fizyce i matematyce grupa Poincarégo jest to grupa izometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest to 10-wymiarowa grupa Liego nazwana na cześć jednego z twórców matematycznych podstaw teorii względności. Abelowa grupa translacji w czasoprzestrzeni jest podgrupą normalną, podczas gdy grupa Lorentza jest podgrupą, czyli pełna grupa Poincaré jest iloczynem półprostym translacji i transformacji Lorentza. Innym sposobem wyprowadzenia grupy Poincaré jest rozszerzenie grupy Lorentza za pomocą jej reprezentacji wektorowej. Zgodnie z programem z Erlangen, geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego jest zdefiniowana przez grupę Poincarégo. Wedle tego programu przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią jednorodną dla grupy Poincarégo.Twierdzenie Noether – twierdzenie udowodnione przez Emmy Noether, mające fundamentalne znaczenie w fizyce. Dotyczy związku zasad zachowania z odpowiednimi symetriami ciągłymi.

    gdzie są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzający się wskaźnik oznacza sumowanie po nim od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina).

    Prawa zachowania – prawa fizyki stwierdzające, że w układach fizycznych izolowanych od otoczenia określone wielkości fizyczne pozostają stałe. Istnieją zarówno zasady zachowania obowiązujące bezwzględnie, jak i zasady zachowania słuszne tylko dla niektórych procesów.Niemcy – naród zamieszkujący przede wszystkim Republikę Federalną Niemiec, posługujący się językiem niemieckim z grupy języków germańskich. Pod względem wyznaniowym Niemcy podzieleni są na katolików (płd. i zach. Niemcy) i protestantów (płn. i wsch. Niemcy).

    Długość dowolnego wektora podniesiona do kwadratu jest wyrażona wzorem ,

    gdzie jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

    Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):Hermann Minkowski (ur. 22 czerwca 1864 w Aleksocie (obecnie Kowno), zm. 12 stycznia 1909 w Getyndze) – niemiecki matematyk i fizyk pochodzenia polskiego i żydowskiego, profesor uniwersytetów w Bonn (od 1893), Królewcu (od 1894), Zurychu (od 1896) i Getyndze (od 1902). Wprowadził idee geometryczne do fizyki matematycznej, teorii względności i teorii liczb.

    Odległość między dwoma punktami o współrzędnych i określa interwał czasoprzestrzenny(dla wygody często warto posługiwać się kwadratem tej wielkości):

    Macierz Grama – w algebrze liniowej macierz związana z układem wektorów danej przestrzeni unitarnej, ułatwiająca opis tej przestrzeni; nosi ona nazwisko duńskiego matematyka Jørgena Pedersena Grama.Wektor zerowy – wektor przestrzeni liniowej pełniący rolę elementu neutralnego dodawania wektorów; zapisywany zwykle symbolem zera, 0 , {displaystyle scriptstyle 0,} często dodatkowo wyróżnionym, np. wytłuszczeniem 0 , {displaystyle scriptstyle mathbf {0} ,} czy strzałką 0 → . {displaystyle scriptstyle {vec {0}}.} Przestrzeń zerowa (trywialna) to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa – zawiera ona wyłącznie wektor zerowy, którego istnienie w dowolnej przestrzeni liniowej postulowane jest w jej aksjomatach. Przeciwobraz wektora zerowego (przestrzeni zerowej) w przekształceniu liniowym nazywa się jądrem tego przekształcenia.

    Tensor metryczny określony jest przez macierz:

    Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w pewnym układzie odniesienia, jeśli znane są te wielkości w układzie poruszającym się względem pierwszego. Przekształceniu temu podlegają np. współrzędne w czasoprzestrzeni, energia i pęd, prędkość (zarówno wartość, jak i kierunek), pole elektryczne i magnetyczne. Wzory transformacyjne zostały wyprowadzone przez Lorentza w oparciu o założenie, że prędkość światła jest stała i niezależna od prędkości układu. Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.Fizyka (z stgr. φύσις physis – "natura") – nauka przyrodnicza zajmująca się badaniem właściwości i przemian materii i energii oraz oddziaływań między nimi. Do opisu zjawisk fizycznych używają wielkości fizycznych, wyrażonych za pomocą pojęć matematycznych, takich jak liczba, wektor, tensor. Tworząc hipotezy i teorie fizyki, budują relacje pomiędzy wielkościami fizycznymi.
    Szczegolna teoria wzglednosci stozek swiatla.svg

    W jawnej postaci kwadrat długości wektora to

    Matematyka (z łac. mathematicus, od gr. μαθηματικός mathēmatikós, od μαθηματ-, μαθημα mathēmat-, mathēma, „nauka, lekcja, poznanie”, od μανθάνειν manthánein, „uczyć się, dowiedzieć”; prawd. spokr. z goc. mundon, „baczyć, uważać”) – nauka dostarczająca narzędzi do otrzymywania ścisłych wniosków z przyjętych założeń, zatem dotycząca prawidłowości rozumowania. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.
    .

    Wektor nazywa się:

    Podgrupa – w teorii grup zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).
  • czasopodobnym, jeżeli ,
  • przestrzennopodobnym, jeżeli ,
  • światłopodobnym lub zerowym, jeżeli .
  • W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy. Zbiór wektorów światłopodobnych nazywa się stożkiem świetlnym. Jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, , gdzie jest prędkością światła w próżni, poprzez przyrównanie wartości interwału czasoprzestrzennego do zera (w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość). Wzajemna widoczność dwóch obiektów oznacza, że znajdują się one we wnętrzu stożka świetlnego obserwatora.

    Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji Poincarégo danej wzorem .

    Zbiór takich transformacji parametryzowanych za pomocą macierzy i wektora translacji tworzy grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki .

    Są to macierze Lorentza, które zawierają transformację Lorentza współrzędnych czasu i przestrzeni. Tworzą one grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo: .

    Ponieważ transformacja Poincarego zawiera dodatkową translację, również to przekształcenie tworzy osobną podgrupę: .

    Wszystkie są ciągłymi grupami Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.

    Ruch w czasoprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria , gdzie jest parametrem niezmienniczym (tzn. nie jest czasem). Np. można zdefiniować , gdzie jest interwałem czasoprzestrzennym, nazywa się czasem własnym.

    Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni trójwymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

    i czterowektor pędu .

    Wektor pędu () w fizyce relatywistycznej ma postać

    identyczną jak fizyce nierelatywistycznej, jeżeli zamienimy masę spoczynkową na masę relatywistyczną

    Wielkości te nie są niezależne

    i podobnie

    Stąd otrzymujemy związek

    i współrzędne kowariantne czterowektora pędu:

    Historia[]

    Minkowski wprowadził pojęcie czasoprzestrzeni, którego używał w swoim opisie Einstein.

    Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane przez x z indeksem x, i= {1,2,3,4}. Współrzędne przestrzenne i czas przekształcają się na nowe współrzędne w następujący sposób:

    gdzie

    W przestrzeni tej "odległość" (interwał czasowoprzestrzenny) określony jest tak, jak odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

    Przestrzeń ta nie jest jednak przestrzenią rzeczywistą, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną. Zespolona współrzędna czasowa powoduje także, że metryka czasoprzestrzeni jest inna niż przestrzeni euklidesowej.




    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.11 sek.