• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Ciąg Fibonacciego



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]
    Przeczytaj także...
    Jacques Philippe Marie Binet (ur. 2 lutego 1786 w Rennes, zm. 12 maja 1856 w Paryżu) – francuski matematyk, fizyk i astronom.Marek S. Huberath (właśc. Hubert Harańczyk ur. 24 kwietnia 1954) – polski fizyk oraz pisarz science fiction. Zajmuje się fizyką biologiczną i fizyką ciała stałego w Instytucie Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, doktor habilitowany.
    Wykres funkcji dla pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu Fibonacciego

    Ciąg Fibonacciegociąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

    Formalnie:

    Kolejne wyrazy tego ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego. Zaliczanie zera do elementów ciągu Fibonacciego zależy od umowy - część autorów definiuje ciąg od F1 = F2 = 1.

    Teoria złożoności obliczeniowej – dział teorii obliczeń, którego głównym celem jest określanie ilości zasobów potrzebnych do rozwiązania problemów obliczeniowych. Rozważanymi zasobami są takie wielkości jak czas, pamięć lub liczba procesorów.Drzewo wywołań funkcji (ang. call tree) to drzewo przedstawiające proces obliczania wartości wyrażenia. Liście drzewa wywołań zawierają niepodzielne części wyrażenia, czyli stałe i zmienne. Węzły wewnętrzne i korzeń odpowiadają wywołaniu funkcji (lub operatorów) z argumentami obliczonymi przez ich poddrzewa.


    Pierwsze dwadzieścia wyrazów ciągu Fibonacciego to:

    Ciąg został omówiony w roku 1202 przez Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, w dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę "ciąg Fibonacciego" spopularyzował w XIX w. Édouard Lucas.

    Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.Algorytm szybkiego potęgowania – metoda pozwalająca na szybkie obliczenie potęgi o wykładniku naturalnym. Metoda ta wykorzystuje pośrednio dwójkową reprezentację wykładnika potęgi, a jej złożoność, wyrażona jako liczba wykonywanych mnożeń, wynosi Θ ( log ⁡ n ) {displaystyle Theta (log n)} , gdzie n oznacza wykładnik obliczanej potęgi.

    Spis treści

  • 1 Wzór Bineta
  • 2 Znaczenia kombinatoryczne
  • 3 Własności
  • 4 Obliczanie liczb Fibonacciego
  • 5 Macierze liczb Fibonacciego
  • 6 Graficzna reprezentacja dwójkowa
  • 7 Złota liczba
  • 7.1 Dowód
  • 8 Liczby pierwsze w ciągu Fibonacciego
  • 9 Pokrewne ciągi
  • 9.1 Ciąg Lucasa
  • 9.2 Ciąg "Tribonacciego"
  • 9.3 Ciąg "Tetranacciego"
  • 9.4 Słowa Fibonacciego
  • 10 Ciąg Fibonacciego w biologii
  • 11 Ciąg Fibonacciego w muzyce
  • 12 Ciąg Fibonacciego w literaturze
  • 13 Przypisy
  • 14 Linki zewnętrzne
  • Rekurencja, zwana także rekursją (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie.Krzysztof Meyer (ur. 11 sierpnia 1943 w Krakowie) – polski kompozytor, pianista, pedagog i autor książek o muzyce. Mąż Danuty Gwizdalanki.

    Wzór Bineta[]

    Jawny wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego podany w roku 1843 przez J.P.M. Bineta możemy otrzymać, korzystając z metody funkcji tworzących.

    Niech

    Funkcja tworząca dla tego ciągu ma postać

    Podstawiając otrzymujemy:

    Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Rysunek obok ilustruje ten związek geometrycznie. Wyrażony algebraicznie:Asymptotyczne tempo wzrostu jest miarą określającą zachowanie wartości funkcji wraz ze wzrostem jej argumentów. Stosowane jest szczególnie często w teorii obliczeń, w celu opisu złożoności obliczeniowej, czyli zależności ilości potrzebnych zasobów (np. czasu lub pamięci) od rozmiaru danych wejściowych algorytmu. Asymptotyczne tempo wzrostu opisuje jak szybko dana funkcja rośnie lub maleje, abstrahując od konkretnej postaci tych zmian.

    W szczególności,

    Giovanni Domenico Cassini (ur. 8 czerwca 1625 w Perinaldo, Włochy; zm. 14 września 1712 w Paryżu) – włoski astronom, geodeta i matematyk.Symbol Newtona ( n k ) {displaystyle {n choose k}} (nazywany też współczynnikiem dwumianowym, czytany n nad k, n po k lub k z n) jest to funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako:

    Wyrażenie można przedstawić w prostszej postaci, mianowicie:

    MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).Zawiązek, primordium – w biologii część organizmu będąca we wczesnej fazie rozwoju. Zwykle kilka komórek z których rozwinie się narząd. Termin pojawia się w różnych dziedzinach biologii (np. zawiązki zębów, zawiązki owocników grzybów), jednak najczęściej stosowany jest w botanice jako określenie pierwszej fazy rozwojowej organów roślin takich zawiązki liści, owoców, korzeni, kwiatów, pędu.

    gdzie

    Ćwierćnuta (♩) – nuta w notacji muzycznej trwająca jedną czwartą całej nuty lub połowę półnuty, dzieląca się na dwie ósemki. Ćwierćnuta oznaczana jest jako owalna wypełniona główka zasadniczo z laską z prawej strony skierowaną w górę dla nut położonych poniżej trzeciej linii lub w dół z lewej strony dla nut położonych na trzeciej linii lub wyżej.Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Wówczas

    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.François Édouard Anatole Lucas (ur. 4 kwietnia 1842 w Amiens - zm. 3 października 1891 w Paryżu ) - francuski matematyk.

    a stąd

    Liber abaci lub Liber abbaci - księga matematyczna z 1202, dotycząca arytmetyki, autorstwa Leonarda z Pizy, znanego później pod pseudonimem Fibonacci. Jej tytuł tłumaczony jest współcześnie jako Księga liczydła lub Księga rachunków.Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

    Ponieważ , wyprowadzony został ostatecznie tzw. wzór Bineta zwany czasem wzorem Eulera-Bineta:

    Fibonacci (Leonardo z Pizy; ur. około 1175 r. - zm. 1250 r.) - włoski matematyk. Znany jako: Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy).Béla Bartók (ur. 25 marca 1881 w Nagyszentmiklós, zm. 26 września 1945 w Nowym Jorku) – węgierski kompozytor i pianista, uważany za jednego z największych kompozytorów XX wieku. Jako badacz muzyki ludowej i autor analiz z tego zakresu jeden z prekursorów etnografii muzycznej.

    Ponieważ drugi człon tego wyrażenia szybko zbiega do zera

    Karlheinz Stockhausen (ur. 22 sierpnia 1928 w Mödrath w Nadrenii Północnej-Westfalii, zm. 5 grudnia 2007 w Kürten) – niemiecki kompozytor, jedna z najbardziej prominentnych postaci współczesnej awangardy muzycznej. W swych kompozycjach Stockhausen starał się dotrzeć do fundamentalnych kwestii akustyki i psychologii odbioru dźwięku i dzieła muzycznego. W swojej twórczości nie dążył do wypracowania własnego, rozpoznawalnego stylu, lecz w każdym utworze starał się wkraczać w nieznany obszar, tworzyć muzykę według nowych reguł. Z jego nazwiskiem wiąże się wiele kluczowych dla sztuki muzycznej XX w. pojęć i idei, takich jak serializm, punktualizm, nowa muzyka elektroniczna (wraz z live electronic music), muzyka przestrzenna, statystyczna, rytualna, intuitywna, kompozycja grupowa, momentowa, „formula composition” i „multi-formula composition”, muzyka świata (integracja „obiektów znalezionych”, m.in. hymnów narodowych i muzyki etnicznej najrozmaitszych krajów), „telemusic” (synteza muzyki różnych kontynentów), wreszcie wertykalna „muzyka oktofoniczna”.Dwójkowy system liczbowy, system binarny, bin – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.
    Zagadka brakującego kwadratu – iluzja optyczna, na którą składają się dwa różne ułożenia zestawu figur geometrycznych. W pierwszym przypadku figury na pierwszy rzut oka tworzą trójkąt prostokątny o wymiarach 13 na 5 kratek. Drugi przypadek stanowi figura podobna do tej z pierwszego przypadku, różniąca się od niej wybrakowaniem w kształcie kwadratu o boku 1 kratki.Kod Leonarda da Vinci (ang. The Da Vinci Code) – czwarta powieść sensacyjna Dana Browna, thriller sprzedany w nakładzie ponad 80 mln egzemplarzy. Książka inspirowana była dziełem Michael Baigenta, Richard Leigha oraz Henriego Lincolna – "The Holy Blood and the Holy Grail" ("Święty Graal, Święta Krew"). Mimo odwołań do świata rzeczywistego, jest to jednak powieść z gatunku fikcji literackiej.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Serializm (z łac. series - ciąg) – kierunek w muzyce współczesnej wywodzący się z muzyki dodekafonicznej. Polega na totalnym uporządkowaniu wszelkich aspektów tworzywa muzycznego: rytmu, dynamiki, artykulacji itp. za pomocą serii.
    Antonio Stradivari, Stradivarius (ur. 1643 lub 1644 w Cremonie, zm. 18 grudnia 1737 tamże) – włoski lutnik, przedstawiciel kremońskiej szkoły lutniczej, jeden z najwybitniejszych budowniczych instrumentów w historii lutnictwa.
    W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych), ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.
    Gniazdo światów – powieść fantastyczna Marka S. Huberatha. Opublikowana w 1998 nakładem superNOWej. Przedstawia kilka powiązanych historii w nietypowej, warstwowej formie.
    Programowanie dynamiczne jest techniką lub strategią projektowania algorytmów, stosowaną przeważnie do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych. Jest alternatywą dla niektórych zagadnień rozwiązywanych za pomocą algorytmów zachłannych. Wynalazcą techniki jest amerykański matematyk Richard Bellman, uhonorowany za to odkrycie medalem IEEE (ang. medal of honour) w 1979 roku.
    Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:
    Tkanka twórcza, merystem – tkanka roślinna, składająca się z komórek o cienkich ścianach z centralnie położonym dużym jądrem komórkowym i niewielkimi wakuolami. Komórki te są zdolne do regularnych podziałów komórkowych. Powstające w wyniku podziałów komórki różnicują się tworząc tkanki stałe. Nazwa merystem pochodzi od greckiego słowa „meristos” – mogący się dzielić.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.136 sek.