Atlas – kolekcja map, przypisanych pewnej rozmaitości, taka że każdemu podzbiorowi rozmaitości przypisana jest jakaś mapa (zwanej też: mapą współrzędnych lub lokalnym układem współrzędnych). Istnieje wiele możliwych atlasów, jakie można utworzyć dla danej rozmaitości. Atlas opisuje sposób, w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową.
Pokrycie zbioru – dowolna rodzina zbiorów przestrzeni zawierającej dany zbiór taka, że zbiór ten jest zawarty w sumie elementów tej rodziny.Bordyzm - relacja równoważności w zbiorze zwartych rozmaitości różniczkowych. Na zbiorze klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania w taki sposób, aby miał on strukturę pierścienia. Badanie relacji bordyzmu jest jednym z głównych nurtów w topologii algebraicznej.
Przedstawienie dwóch zgodnych map na rozmaitości wraz z przekształceniem przejścia. Zbiór
U
α
{\displaystyle U_{\alpha }}
zaznaczono na czerwono,
U
β
{\displaystyle U_{\beta }}
na niebiesko, a ich część wspólną
U
α
,
β
{\displaystyle U_{\alpha ,\beta }}
na fioletowo; przekształcenie przejścia
φ
α
,
β
{\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }}
(strzałka po prawej) jest zdefiniowane jako złożenie
φ
α
−
1
{\displaystyle \varphi _{\alpha }^{-}1}
(
φ
α
{\displaystyle \varphi _{\alpha }}
to górna strzałka) oraz
φ
β
{\displaystyle \varphi _{\beta }}
(dolna strzałka).
Niech dana będzie rozmaitość
M
{\displaystyle M}
o wymiarze
n
.
{\displaystyle n.}
Niech
U
{\displaystyle U}
będzie otwartym podzbiorem
M
.
{\displaystyle M.}
Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowalnych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowalnymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.
Mapą na rozmaitości
M
{\displaystyle M}
w otoczeniu
U
{\displaystyle U}
nazywa się parę
(
U
,
φ
)
,
{\displaystyle (U,\varphi ),}
gdzie
φ
:
U
→
V
{\displaystyle \varphi \colon U\to V}
jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór
V
{\displaystyle V}
przestrzeni
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Rozmaitość w matematyce, a szczególnie w geometrii różniczkowej i topologii, to podzbiór przestrzeni euklidesowej, który w dowolnym lokalnym obszarze można opisać (w ogólności wielowymiarową) funkcją gładką. Bardziej ogólnie rozmaitość topologiczną można przedstawić jako przestrzeń topologiczną, która w odpowiednio małej skali przypomina przestrzeń euklidesową określonego wymiaru, zwaną wymiarem rozmaitości. Stąd, linia i okrąg to rozmaitości jednowymiarowe, powierzchnia i sfera to rozmaitości dwuwymiarowe, i tak dalej w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów. Bardziej formalnie, każdy punkt rozmaitości n-wymiarowej ma homeomorficzne sąsiedztwo w otwartym podzbiorze n-wymiarowej przestrzeni R.Funkcja holomorficzna – główny obiekt badań analizy zespolonej; funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych
C
{displaystyle mathbb {C} }
o wartościach w
C
{displaystyle mathbb {C} }
, która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru.
Sklejanie map (przekształcenie przejścia)[ | edytuj kod]
Dla dwóch map
(
U
α
,
φ
α
)
{\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}
i
(
U
β
,
φ
β
)
{\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}
na
M
{\displaystyle M}
o tej własności, że zbiór
Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować". Istnieją dwie nierównoważne konwencje użycia terminu zbiór przeliczalny w matematyce:Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.
U
α
,
β
:=
U
α
∩
U
β
{\displaystyle U_{\alpha ,\beta }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }}
jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)
φ
α
,
β
:
φ
α
(
U
α
,
β
)
→
φ
β
(
U
α
,
β
)
{\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha ,\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha ,\beta })}
dane wzorem:
φ
α
,
β
=
φ
β
∘
φ
α
−
1
.
{\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}
Przekształcenia
φ
α
{\displaystyle \varphi _{\alpha }}
i
φ
β
{\displaystyle \varphi _{\beta }}
są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.
Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
