• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Antynomia Russella



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Encyklopedia PWN – encyklopedia internetowa, oferowana – bezpłatnie i bez konieczności uprzedniej rejestracji – przez Wydawnictwo Naukowe PWN. Encyklopedia zawiera około 122 tysiące haseł i 5 tysięcy ilustracji.Definicja niepredykatywna – w logice matematycznej definicja zawierająca element samoodniesienia. Ściślej mówiąc definicja obiektu m jest niepredykatywna, jeśli m należy do zbioru M i jednocześnie definicja m zależy od zbioru M. Wiele antynomii logicznych związanych jest z obiektami definiowanymi niepredykatywnie.

    Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju logicyzmu, będącego próbą aksjomatyzacji matematyki, zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako zbiory. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane formułami logicznymi – nazywa się je klasami właściwymi. Paradoks ten wynika z autoreferencji, czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry’ego; por. twierdzenia Gödla i problem stopu.

    Paradoks Richarda jest antynomią w teorii zbiorów i języku naturalnym po raz pierwszy opisaną w 1905 roku przez Julesa Richarda. Istnieje wiele sformułowań tego paradoksu, w oryginalnej postaci antynomia bazuje na modyfikacji metody przekątniowej Cantora. Paradoks Richarda jest często omawiany w kontekście rozróżnienia pomiędzy zdaniami matematyki i metamatematyki. Zbiór rozmyty (ang. fuzzy set) – obiekt matematyczny ze zdefiniowaną funkcją przynależności (zwaną też funkcją charakterystyczną zbioru rozmytego), która przybiera wartości z przedziału [0, 1]. Teoria zbiorów rozmytych została wprowadzona przez Lotfi A. Zadeha w 1965 r. jako rozszerzenie klasycznej teorii zbiorów.

    Paradoks[ | edytuj kod]

    Niech oznacza zbiór zawierający wszystkie takie zbiory dla których nie jest elementem tj.

    Formuła logiczna to określenie dozwolonego wyrażenia w wielu systemach logicznych, m.in. w rachunku kwantyfikatorów oraz w rachunku zdań.John David Barrow (ur. 29 listopada 1952 w Londynie) – angielski fizyk teoretyk, profesor nauk matematycznych na Uniwersytecie Cambridge, pisarz popularnonaukowy, anglikanin.

    Postawmy pytanie, czy jest swoim elementem, czy nie.

  • Jeśli przypuścimy, że jest elementem to nie spełnia definicji zbioru a więc nie jest elementem
  • jeśli zaś nie jest elementem to musi być elementem na mocy definicji tego zbioru.
  • Prowadzi do sprzeczności:

    Stanford Encyclopedia of Philosophy (SEP) jest ogólnie dostępną encyklopedią internetową filozofii opracowaną przez Stanford University. Każde hasło jest opracowane przez eksperta z danej dziedziny. Są wśród nich profesorzy z 65 ośrodków akademickich z całego świata. Autorzy zgodzili się na publikację on-line, ale zachowali prawa autorskie do poszczególnych artykułów. SEP ma 1260 haseł (stan na 20 stycznia 2011). Mimo, że jest to encyklopedia internetowa, zachowano standardy typowe dla tradycyjnych akademickich opracowań, aby zapewnić jakość publikacji (autorzy-specjaliści, recenzje wewnętrzne).Paradoks Berry’ego dotyczy liczb naturalnych. Jego autorem jest Bertrand Russell. Jego nazwa pochodzi od nazwiska bibliotekarza Uniwersytetu w Oxfordzie, którego pomysł zainspirował Russella.

    Wyjaśnienie paradoksu[ | edytuj kod]

    Paradoks jest pozorny i wynika z nadużycia pojęcia zbioru. „Zbiór” został utworzony jako gdzie jest predykatem z jedną zmienną niezawierającym symbolu Tworzenie zbiorów w taki sposób było powszechną praktyką w naiwnej teorii mnogości. Jednak w aksjomatycznej teorii mnogości ZF istnieją jedynie takie zbiory, których istnienie jest zagwarantowane jakimś aksjomatem (np. zbiór pusty) bądź takie, które można skonstruować powołując się na jakiś aksjomat (np. aksjomat pary, aksjomat sumy).

    Antynomia (gr. antinomia - sprzeczność praw) - logiczna sprzeczność, paradoks, zdanie logiczne bądź rozumowanie dedukcyjne, które prowadzi do sprzeczności. Termin używany w logice, epistemologii.Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

    Definicja typu jest poprawna („skuteczna”), o ile elementy są pobierane z jakiegoś już istniejącego zbioru. W przeciwnym razie dostajemy nie zbiór, ale klasę właściwą. Taką klasą właściwą może też być jednak o ile w przypadku tej klasy traktowanie jej jako zbioru prowadzi np. do paradoksu zbioru wszystkich zbiorów, o tyle w przypadku klasy traktowanie jej jako zbioru prowadzi do sprzeczności już na etapie weryfikowania, czy on sam należy do siebie, czy nie.

    Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Oprócz rozpatrywanych w tym artykule twierdzeń, Gödel udowodnił też twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności (patrz: teoria, struktura matematyczna).


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Warto wiedzieć że... beta

    Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
    Aksjomaty Zermela-Fraenkla, aksjomatyka Zermela-Fraenkla, w skrócie: aksjomaty(ka) ZF – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla.
    Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks tzw. "naiwnej" teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej) tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii.
    Logicyzm to kierunek w filozofii matematyki, zakładający, że można oprzeć jej podstawy na bazie rachunku logicznego zdań (porównaj logika). W szczególności sprowadza to matematykę jako naukę do szczególnego rodzaju formalnej teorii logicznej implementującej pewien zestaw aksjomatów i wyprowadzającej z nich wnioski w oparciu o pewien zespół definicji (porównaj: formalizm (matematyka)).
    Bertrand Arthur William Russell, 3. hrabia Russell (ur. 18 maja 1872 roku w Ravenscroft (Monmouthshire), zm. 2 lutego 1970 roku w Penrhyndeudraeth, Walia) – brytyjski filozof, logik, matematyk, działacz społeczny i eseista. Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie literatury za rok 1950. Zainicjował w 1954 roku kampanię pokojową Pugwash.
    Paradoks kłamcy zwany także paradoksem Eubulidesa lub antynomią kłamcy, mówi o niemożliwości zdefiniowania pojęcia prawdy w obrębie języka, do którego to pojęcie się odnosi.
    Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.027 sek.