• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Algebra ogólna



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    Spis treści

  • 1 Definicje
  • 1.1 Definicja 1
  • 1.2 Definicja 2
  • 1.3 Definicja 3
  • 2 Przykłady algebr
  • 3 Redukty i wzbogacenia
  • 3.1 Przykłady
  • 4 Redukty nieproste
  • 4.1 Przykłady
  • 5 Podalgebry
  • 5.1 Przykłady
  • 6 Homomorfizmy
  • 6.1 Przykłady
  • 7 Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry
  • 7.1 Przykład
  • 7.2 Algebra ilorazowa
  • 7.3 Zasadnicze twierdzenie algebry
  • 8 Szczególne algebry
  • 8.1 Zbiór
  • 8.2 Zbiór z wyróżnionym punktem
  • 8.3 Algebra unarna
  • 8.4 Grupoid
  • 8.5 Quasi-grupa
  • 8.6 Lupa
  • 8.7 Półgrupa
  • 8.8 Monoid
  • 8.9 Grupa
  • 8.10 Pierścień
  • 8.10.1 Pierścień z jedynką
  • 8.10.2 Pierścień z dzieleniem
  • 8.11 Ciało
  • 8.12 Krata
  • 8.12.1 Krata dualna
  • 8.12.2 Krata z „zerem”
  • 8.12.3 Krata z „jedynką”
  • 8.12.4 Krata ograniczona
  • 8.12.5 Krata komplementarna
  • 8.12.6 Krata implikacyjna
  • 8.13 Algebra Heytinga
  • 9 Zobacz też
  • 10 Przypisy
  • Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna)– obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną) .

    Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

    Definicje[]

    Definicja 1[]

    Niech będzie zbiorem i niech .

    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

    Algebrą sygnatury jest para , gdzie jest zbiorem (zwykle niepustym), a jest funkcją, która elementowi zbioru przyporządkowuje -argumentowe działanie w zbiorze . Zbiór nazywamy uniwersum algebry , funkcję interpretacją zbioru w algebrze .

    Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).Kraty (ang. lattice) są strukturami matematycznymi, które można opisywać albo algebraicznie, albo w sensie częściowych porządków:

    Dla danej algebry , jej uniwersum oznacza się zazwyczaj jako . Także zamiast pisać pisze się albo .

    Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór Ω {displaystyle Omega } operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.

    Definicja 2[]

    Algebrą nazywamy zbiór G, na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór operacji n-arnych.

    Zbiór symboli operacji , dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja jest n-arna, to używa się zapisu .

    Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.Relacja dwuargumentowa, dwuczłonowa albo binarna – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów, która formalizuje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (dane dwa elementy pozostają w związku albo łączy je pewna zależność lub nie). Do najważniejszych relacji tego rodzaju należy zaliczyć funkcje i działania jednoargumentowe (zob. Własności). Pojęcie relacji (dwuargumentowych) uogólnia się na klasy: ma to na celu opisanie przykładowo równości różnych obiektów jako relacji między nimi i ominięcie przy tym różnych paradoksów związanych z teorią mnogości (np. paradoks zbioru wszystkich zbiorów).

    Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt - algebrę . W pierwszej definicji zbiór jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, jest funkcją przypisującą nazwie operację n-arną algebry, a funkcja przypisuje nazwie operacji jej arność.

    Znaki diakrytyczne (gr. diakritikós – odróżniający) – znaki graficzne używane w alfabetach i innych systemach pisma, umieszczane nad, pod literą, obok lub wewnątrz niej, zmieniające artykulację tej litery i tworzące przez to nową literę. W alfabetach sylabowych mogą zmienić znaczenie całej sylaby.Półgrupa – Grupoid ⟨ A , ⊙ ⟩ {displaystyle langle A,odot angle } , którego działanie ⊙ {displaystyle odot } jest łączne, czyli:

    Definicja 3[]

    Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

    Operacją n-arną (działaniem n-arnym) ω {displaystyle omega } w zbiorze G dla liczby całkowitej n > 0 nazywamy funkcję, która każdemu ciągowi (a1, ..., an) n elementów zbioru G przyporządkowuje element a1...an ω {displaystyle omega } zbioru G. Innymi słowy jest to dowolne odwzorowanie n-tego iloczynu kartezjańskiego G zbioru G w zbiór G. W przypadku n = 1 będzie to dowolne odwzorowanie zbioru G w zbiór G (taką operację nazywamy operacją unarną).Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

    gdzie jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry), elementy są pewnymi elementami zbioru (nazywanymi elementami wyróżnionymi), a są działaniami określonymi w zbiorze , przy czym jest działaniem - argumentowym, tzn. oraz . Dwie algebry:

    Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.

    Pierścień z dzieleniem – struktura algebraiczna spełniająca wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem aksjomatu przemienności mnożenia. Każde ciało jest więc pierścieniem z dzieleniem. Mimo że iloczyn w niżej opisanych pierścieniach i algebrach jest łączny, rozważa się także niełączne algebry z dzieleniem, np. algebrę oktonionów.Częściowy porządek (ang. partial order) – relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.

    i

    Monoid - półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra ( S , e , ∗ ) {displaystyle (S,e,*)} , sygnatury ( 0 , 2 ) {displaystyle (0,2)} , gdzie S jest niepustym zbiorem, natomiastOdwrotna notacja polska (ONP, ang. Reverse Polish Notation, RPN) – jest sposobem zapisu wyrażeń arytmetycznych, w którym znak wykonywanej operacji umieszczony jest po operandach (zapis postfiksowy), a nie pomiędzy nimi jak w konwencjonalnym zapisie algebraicznym (zapis infiksowy) lub przed operandami jak w zwykłej notacji polskiej (zapis prefiksowy). Zapis ten pozwala na całkowitą rezygnację z użycia nawiasów w wyrażeniach, jako że jednoznacznie określa kolejność wykonywanych działań.

    nazywamy algebrami podobnymi ( lub algebrami tego samego typu) jeśli oraz , oraz dla każdego działania oraz są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. oraz .

    Notacja polska, zapis przedrostkowy, notacja Łukasiewicza – sposób zapisu wyrażeń logicznych (a później arytmetycznych), podający najpierw operator, a potem operandy (argumenty). Został przedstawiony w 1920 roku przez polskiego filozofa i logika Jana Łukasiewicza. Różniła się ona od zapisów nawiasowych używanych, m.in., przez klasyczne dzieło formalizmu logicznego Principia Mathematica Bertranda Russella i A. N. Whiteheada. Według Jana Woleńskiego, notacja ta pozwala na łatwiejsze przeprowadzanie operacji na formułach o znacznej długości; formuły krótsze wydają się bardziej "intuitywne".Zbiór z wyróżnionym punktem – w matematyce zbiór wraz z wyróżnionym w nim elementem. Jest to jedna z prostszych struktur algebraicznych algebry uniwersalnej definiowana jako zbiór wraz z jednym działaniem zeroargumentowym wskazującym wyróżniony punkt.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.
    Grupa przemienna (abelowa) – grupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo, w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny.
    Pierścień przemienny – w teorii pierścieni, dziedzinie algebry abstrakcyjnej, pierścień w którym działanie mnożenia jest przemienne. Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia).
    Mojżesz Presburger (ur. 1904, Warszawa; zm. 1943 [?]) - polski logik, matematyk i filozof żydowskiego pochodzenia, związany ze szkołą lwowsko-warszawską. Udowodnił rozstrzygalność badania prawdziwości formuł arytmetyki Presburgera.
    Największy wspólny dzielnik – dla danych dwóch (lub więcej) liczb całkowitych największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich. Pojęcie to ma wiele uogólnień, które przedstawiono w dalszej części artykułu.
    Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

    Reklama