• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Algebra Banacha



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Splot, splot całkowy, mnożenie splotowe lub konwolucja (ang. convolution: od convolute, „skręcać, zwijać”; z łac. convolutus, im. od convolvere, od com-, „z, razem; całkowicie, gruntownie, dokładnie” i volvere, „zawijać”) – w matematyce oraz technice, działanie określone dla dwóch funkcji (lub opisywanych przez nie sygnałów) dające w wyniku inną, która może być postrzegana jako zmodyfikowana wersja oryginalnych funkcji. Nazwą tą nazywa się również wynik tego działania, które bywa nazywane także iloczynem (lub produktem) splotowym. Splot podobny jest do korelacji wzajemnej. Znajduje zastosowania także m.in. w statystyce, równaniach różniczkowych, elektrotechnice, cyfrowym przetwarzaniu obrazów czy sygnałów – na przykład, w przetwarzaniu obrazów operacja splotu obrazu źródłowego z odpowiednio skonstruowanym filtrem pozwala na wykrycie krawędzi (np. filtr Sobela), rozmycie obrazu (np. filtr Gaussa) oraz pozwala na ekstrakcję cech kształtów przy rozpoznawaniu wzorców obiektów w obrazie (falki Gabora), jak i wielu innych.Ciąg Cauchy’ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

    Algebra Banachaprzestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.

    Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

    Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie -adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb -adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.

    Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

    Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a.

    Jedynka w algebrze Banacha[ | edytuj kod]

    Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha z trywialnym mnożeniem, tj. Każdą algebrę Banacha można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej wprowadza się działanie mnożenia wzorem

    Teoria spektralna, analiza spektralna - dział analizy funkcjonalnej zajmujący się badaniem spektrum (widma) operatorów liniowych.Sprzężona algebra Banacha - algebra Banacha A, która jako przestrzeń Banacha jest przestrzenią sprzężoną do pewnej przestrzeni Banacha E oraz dla każdego elementu a algebry A operacje

    wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą

    C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu C*) – zespolona algebra Banacha A z dodatkowym działaniem inwolucji *: A → A (A jest więc *-algebrą), spełniającym warunekPrzestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzorem
    .

    Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie przez

    Norma operatorowa – norma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli X i Y są przestrzeniami unormowanymi to wzórElement odwracalny – w algebrze dla danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego określonego w pewnej strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego odwrotny względem tego działania.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Warto wiedzieć że... beta

    Funkcja tożsamościowa a. identycznościowa – w matematyce funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego; intuicyjnie funkcja, która „nic nie zmienia”.
    Operator liniowy ograniczony T to taki operator liniowy pomiędzy unormowanymi przestrzeniami X i Y, że istnieje pewna liczba nieujemna C, która dla każdego x należącego do X spełnia
    Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.
    Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.
    Przestrzeń lokalnie zwarta – przestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna ( X , τ ) {displaystyle (X, au )} jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt x ∈ X {displaystyle xin X} ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.
    Przestrzeń dyskretna – w topologii przykład przestrzeni topologicznej lub podobnej struktury, w której punkty są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.
    Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.042 sek.