Aksjomat determinacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Aksjomat determinacji, AD (od ang. axiom of determinacy) – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych. Implikuje on, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy wynikające z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

Zbiór doskonały – w przestrzeni topologicznej zbiór domknięty i wszędzie gęsty, to znaczy taki, którego każdy punkt jest jego punktem skupienia.Donald A. (Tony) Martin (ur. 24 grudnia 1940) – amerykański matematyk specjalizujący się w logice matematycznej i filozofii matematyki. Profesor matematyki i filozofii na Uniwersytecie Kalifornijskim w Los Angeles (UCLA), dyrektor Centrum Logicznego na tymżesz uniwersytecie. Członek Amerykańskiej Akademii Sztuki i Nauki (j.ang. American Academy of Arts and Sciences).

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak AD niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla.

W dalszej części tego artykułu będą używane oznaczenia i definicje wprowadzone w artykule o grach nieskończonych.

Rys historyczny[ | edytuj kod]

  • Pierwsza gra nieskończona została opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.
  • W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego.
  • W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz jest zbiorem analitycznym, to gra jest zdeterminowana.
  • W 1975 Martin wykazał, że jeśli jest zbiorem borelowskim, to gra jest zdeterminowana.
  • W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
  • W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu które okazało się kluczowym elementem badań struktury przy założeniu AD w (gdzie jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów a jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy ).
  • Księga Szkocka – gruby zeszyt zakupiony przez Łucję, żonę Stefana Banacha, w 1935, w którym matematycy lwowscy (zarówno profesorowie, jak i studenci) zapisywali w latach 1935–1941 zagadnienia matematyczne wymagające rozwiązania. Wiele z nich nie zostało rozwikłanych do tej pory. Brulion ten jest w posiadaniu potomków Stefana Banacha zamieszkałych w Niemczech. Ideał – w teorii porządków częściowych, teorii mnogości i pokrewnych dziedzinach matematyki pojęcie dualne do pojęcia filtru.


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Warto wiedzieć że... beta

    Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.
    Gra nieskończona – wyimaginowany proces, w którym dwie osoby podejmują szereg (zwykle naprzemiennych) wyborów ponumerowanych elementami pewnej nieskończonej liczby porządkowej. Po zakończeniu procesu pewne zadane z góry kryterium używane jest do rozstrzygnięcia, który z graczy odniósł zwycięstwo.
    Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.
    Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami tzw. dużych liczb kardynalnych.
    Aksjomaty Zermela-Fraenkla, aksjomatyka Zermela-Fraenkla, w skrócie: aksjomaty(ka) ZF – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla.
    Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.
    Zbiory analityczne – podzbiory przestrzeni polskiej które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

    Reklama